Mathematik Klasse 7: Lineare Gleichungen und Sachprobleme lösen
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Lösen heißt, auf beiden Seiten Rechenschritte rückgängig zu machen, ohne die Lösung zu ändern, und dann zu prüfen, ob die Antwort in der Geschichte Sinn ergibt.
Rechenschritte rückgängig machen, auf beiden Seiten
In 2,5x − 4 = 6 wurde die Unbekannte mit 2,5 multipliziert und dann 4 abgezogen, ergibt 6. Man macht es in umgekehrter Reihenfolge rückgängig: 6 + 4 = 10, dann 10 ÷ 2,5 = 4. Als Gleichung gilt die Waagenregel: Was du mit einer Seite machst, machst du mit der anderen. 2,5x − 4 + 4 = 6 + 4 ergibt 2,5x = 10, und beide Seiten durch 2,5 geteilt ergibt x = 4. Probe: 2,5 × 4 − 4 = 6. Die Lösung muss nicht ganz sein: 2x + 1 = 6 ergibt 2x = 5, also x = 5/2 = 2,5.
Warum die Schritte die Lösung erhalten
Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie genau dieselben Lösungen haben. Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren oder beide Seiten mit einer Zahl ungleich null multiplizieren oder dividieren ergibt eine äquivalente Gleichung, denn man kommt mit der Umkehroperation immer zurück. Begründung, dass 3x + 6 = 21 und 3x = 15 äquivalent sind: Die zweite entsteht aus der ersten durch Subtrahieren von 6 auf beiden Seiten, und zurück geht es durch Addieren von 6. Dann sind 3x = 15 und x = 5 durch Division durch 3 äquivalent. 3x = 15 und 3x = 12 dagegen nicht: Ihre Lösungen sind 5 und 4.
Ein Problem, und passt die Antwort?
Marta hat 25 € und spart 3 € pro Woche; Tomás hat 7 € und spart 6 € pro Woche. Nach wie vielen Wochen haben sie gleich viel? Mit x Wochen: 25 + 3x = 7 + 6x. Ziehe auf beiden Seiten 3x ab: 25 = 7 + 3x. Ziehe 7 ab: 18 = 3x. Teile durch 3: x = 6. Probe: 25 + 3 × 6 = 43 und 7 + 6 × 6 = 43. Passt 6 zur Geschichte? Wochen zählt man in ganzen Zahlen, und 6 ist eine, also ja. Wäre 4,5 herausgekommen, gäbe es keine Woche mit gleichen Beträgen, und man müsste die Aufgabe noch einmal lesen.
Ein Glied verschieben, ohne das Vorzeichen zu ändern
Löse 4x + 9 = x + 30. Ein häufiger Fehler: 4x − x = 30 + 9, also 3x = 39 und x = 13. Es fühlt sich an wie „die 9 auf die andere Seite bringen“, aber die 9 wurde addiert, also zieht man zum Entfernen auf beiden Seiten 9 ab, und es wird 30 − 9. Teste 13: 4 × 13 + 9 = 61, aber 13 + 30 = 43, nicht gleich. Richtig: 4x − x = 30 − 9, also 3x = 21 und x = 7. Probe: 4 × 7 + 9 = 37 und 7 + 30 = 37. Setze die Antwort immer in die ursprüngliche Gleichung ein, nicht in eine schon umgeformte.
Zwei Angebote vergleichen
Zwei Fahrradverleihe: A verlangt 10 € Grundgebühr plus 2 € pro Stunde, B verlangt 4 € Grundgebühr plus 5 € pro Stunde. Wann kosten sie gleich viel? 10 + 2x = 4 + 5x. Ziehe 2x ab: 10 = 4 + 3x. Ziehe 4 ab: 6 = 3x, also x = 2. Probe: 10 + 2 × 2 = 14 und 4 + 5 × 2 = 14. Unter 2 Stunden ist B billiger, über 2 Stunden A. Angebote vergleichen, Kosten teilen, Mengen mischen: Immer wenn zwei Zählweisen übereinstimmen sollen, findet eine Gleichung den Moment, in dem sie es tun.
Teste, was du gelernt hast
Welche Gleichung ist äquivalent zu 5x − 4 = 21?
- a) 5x = 17
- b) x − 4 = 4,2
- c) 5x = 21
- d) 5x = 25
Richtige Antwort: d) 5x = 25 — Richtig: 4 auf beiden Seiten addiert ergibt 5x = 25, und zurück geht es durch Subtrahieren von 4. Beide haben die Lösung 5: 5 × 5 − 4 = 21.
Wie lautet die Lösung von 7x − 9 = 3x + 11?
- a) x = 2
- b) x = 5
- c) x = 20
- d) x = 1/2
Richtige Antwort: b) x = 5 — Richtig: 7x − 3x = 11 + 9, also 4x = 20 und x = 5. Probe: 7 × 5 − 9 = 26 und 3 × 5 + 11 = 26.
Rita hat 3x + 8 = x + 20 so gelöst: 3x − x = 20 + 8; 2x = 28; x = 14. Aber 14 ist nicht die Lösung. Was ging schief?
- a) Sie hätte 28 durch 3 teilen sollen, den größeren Koeffizienten
- b) Eine Gleichung darf nicht auf beiden Seiten x haben
- c) Sie hat 8 rechts addiert; es müsste 20 − 8 = 12 sein
- d) 3x − x ist 4x, nicht 2x
Richtige Antwort: c) Sie hat 8 rechts addiert; es müsste 20 − 8 = 12 sein — Richtig: Die 8 wurde links addiert, also zieht man auf beiden Seiten 8 ab. Dann 2x = 12 und x = 6. Probe: 3 × 6 + 8 = 26 und 6 + 20 = 26.
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