Mathématiques 7e année : Résoudre des équations du premier degré et des problèmes
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Résoudre, c'est défaire des opérations des deux côtés sans changer la solution, puis vérifier que la réponse a du sens dans l'histoire.
Défaire les opérations, des deux côtés
Dans 2,5x − 4 = 6 l'inconnue a été multipliée par 2,5 puis on a retiré 4, ce qui donne 6. On défait dans l'ordre inverse : 6 + 4 = 10, puis 10 ÷ 2,5 = 4. Sous forme d'équation, c'est la règle de la balance : ce que tu fais à un membre, fais-le à l'autre. 2,5x − 4 + 4 = 6 + 4 donne 2,5x = 10, et en divisant les deux membres par 2,5 on obtient x = 4. Vérifie : 2,5 × 4 − 4 = 6. La solution n'est pas forcément entière : 2x + 1 = 6 donne 2x = 5, donc x = 5/2 = 2,5.
Pourquoi les étapes gardent la solution
Deux équations sont équivalentes quand elles ont exactement les mêmes solutions. Ajouter ou retrancher le même nombre aux deux membres, ou multiplier ou diviser les deux par un nombre différent de zéro, donne une équation équivalente, car on peut toujours revenir en arrière avec l'opération inverse. Pour justifier que 3x + 6 = 21 et 3x = 15 sont équivalentes : la seconde vient de la première en retranchant 6 aux deux membres, et on revient en ajoutant 6. Puis 3x = 15 et x = 5 sont équivalentes en divisant par 3. Mais 3x = 15 et 3x = 12 ne le sont pas : leurs solutions sont 5 et 4.
Un problème, et la réponse convient-elle ?
Marta a 25 € et épargne 3 € par semaine ; Tomás a 7 € et épargne 6 € par semaine. Au bout de combien de semaines ont-ils la même somme ? Avec x semaines : 25 + 3x = 7 + 6x. Retranche 3x aux deux membres : 25 = 7 + 3x. Retranche 7 : 18 = 3x. Divise par 3 : x = 6. Vérifie : 25 + 3 × 6 = 43 et 7 + 6 × 6 = 43. 6 convient-il à l'histoire ? Les semaines se comptent en nombres entiers et 6 en est un, donc oui. Si la solution avait été 4,5, aucune semaine n'aurait donné des sommes égales, et il aurait fallu relire le problème.
Changer un terme de côté sans changer le signe
Résous 4x + 9 = x + 30. Une erreur fréquente : 4x − x = 30 + 9, donc 3x = 39 et x = 13. On a l'impression de « passer le 9 de l'autre côté », mais le 9 s'ajoutait, donc pour l'enlever on retranche 9 aux deux membres, et il devient 30 − 9. Teste 13 : 4 × 13 + 9 = 61, mais 13 + 30 = 43, pas égal. Correct : 4x − x = 30 − 9, donc 3x = 21 et x = 7. Teste : 4 × 7 + 9 = 37 et 7 + 30 = 37. Remplace toujours la réponse dans l'équation de départ, pas dans une que tu as déjà transformée.
Comparer deux formules
Deux magasins de location de vélos : A prend 10 € fixes plus 2 € par heure, B prend 4 € fixes plus 5 € par heure. Quand coûtent-ils pareil ? 10 + 2x = 4 + 5x. Retranche 2x : 10 = 4 + 3x. Retranche 4 : 6 = 3x, donc x = 2. Vérifie : 10 + 2 × 2 = 14 et 4 + 5 × 2 = 14. Avant 2 heures B est moins cher, après 2 heures c'est A. Comparer des formules, partager des frais, mélanger des quantités : chaque fois que deux façons de compter doivent s'accorder, une équation trouve le moment où elles s'accordent.
Teste ce que tu as appris
Laquelle de ces équations est équivalente à 5x − 4 = 21 ?
- a) 5x = 17
- b) x − 4 = 4,2
- c) 5x = 21
- d) 5x = 25
Bonne réponse: d) 5x = 25 — Exact : ajouter 4 aux deux membres donne 5x = 25, et on revient en retranchant 4. Les deux ont pour solution 5 : 5 × 5 − 4 = 21.
Quelle est la solution de 7x − 9 = 3x + 11 ?
- a) x = 2
- b) x = 5
- c) x = 20
- d) x = 1/2
Bonne réponse: b) x = 5 — Exact : 7x − 3x = 11 + 9, donc 4x = 20 et x = 5. Vérifie : 7 × 5 − 9 = 26 et 3 × 5 + 11 = 26.
Rita a résolu 3x + 8 = x + 20 ainsi : 3x − x = 20 + 8 ; 2x = 28 ; x = 14. Mais 14 n'est pas la solution. Qu'est-ce qui a mal tourné ?
- a) Elle aurait dû diviser 28 par 3, le plus grand coefficient
- b) Une équation ne peut pas avoir x des deux côtés
- c) Elle a ajouté 8 au second membre ; il fallait 20 − 8 = 12
- d) 3x − x vaut 4x, pas 2x
Bonne réponse: c) Elle a ajouté 8 au second membre ; il fallait 20 − 8 = 12 — Exact : le 8 s'ajoutait dans le premier membre, donc on retranche 8 aux deux. Alors 2x = 12 et x = 6. Vérifie : 3 × 6 + 8 = 26 et 6 + 20 = 26.
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