Matemáticas 7.º curso: Resolver ecuaciones de primer grado y problemas
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Resolver es deshacer operaciones en los dos miembros sin cambiar la solución, y luego comprobar que la respuesta tiene sentido en la historia.
Deshacer las operaciones, en los dos miembros
En 2,5x − 4 = 6 la incógnita se multiplicó por 2,5 y luego se quitaron 4, dando 6. Se deshace en orden inverso: 6 + 4 = 10 y luego 10 ÷ 2,5 = 4. En forma de ecuación es la misma regla de la balanza: lo que haces a un miembro, se lo haces al otro. 2,5x − 4 + 4 = 6 + 4 da 2,5x = 10, y dividiendo los dos miembros por 2,5 sale x = 4. Comprueba: 2,5 × 4 − 4 = 6. La solución no tiene que ser entera: 2x + 1 = 6 da 2x = 5, así que x = 5/2 = 2,5.
Por qué los pasos mantienen la solución
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones. Sumar o restar el mismo número en los dos miembros, o multiplicar o dividir los dos por un número distinto de cero, da una ecuación equivalente, porque siempre se puede volver atrás con la operación inversa. Para justificar que 3x + 6 = 21 y 3x = 15 son equivalentes: la segunda sale de la primera restando 6 a los dos miembros, y se vuelve sumando 6. Luego 3x = 15 y x = 5 son equivalentes al dividir por 3. En cambio 3x = 15 y 3x = 12 no lo son: sus soluciones son 5 y 4.
Un problema, ¿y la respuesta tiene sentido?
Marta tiene 25 € y ahorra 3 € a la semana; Tomás tiene 7 € y ahorra 6 € a la semana. ¿Después de cuántas semanas tienen la misma cantidad? Con x semanas: 25 + 3x = 7 + 6x. Resta 3x en los dos miembros: 25 = 7 + 3x. Resta 7: 18 = 3x. Divide por 3: x = 6. Comprueba: 25 + 3 × 6 = 43 y 7 + 6 × 6 = 43. ¿Sirve el 6 a la historia? Las semanas se cuentan en números enteros y 6 lo es, así que sí. Si la solución hubiera sido 4,5, no habría ninguna semana con cantidades iguales, y sería hora de releer el problema.
Pasar un término sin cambiar el signo
Resuelve 4x + 9 = x + 30. Un desliz común: 4x − x = 30 + 9, luego 3x = 39 y x = 13. Parece «pasar el 9 al otro lado», pero el 9 estaba sumando, así que para quitarlo se resta 9 en los dos miembros, y queda 30 − 9. Prueba el 13: 4 × 13 + 9 = 61, pero 13 + 30 = 43, no es igual. Correcto: 4x − x = 30 − 9, luego 3x = 21 y x = 7. Prueba: 4 × 7 + 9 = 37 y 7 + 30 = 37. Sustituye siempre la respuesta en la ecuación original, no en una que ya cambiaste.
Comparar dos planes
Dos tiendas de alquiler de bicis: la A cobra 10 € fijos más 2 € por hora, la B cobra 4 € fijos más 5 € por hora. ¿Cuándo cuestan lo mismo? 10 + 2x = 4 + 5x. Resta 2x: 10 = 4 + 3x. Resta 4: 6 = 3x, luego x = 2. Comprueba: 10 + 2 × 2 = 14 y 4 + 5 × 2 = 14. Con menos de 2 horas la B es más barata, con más de 2 horas lo es la A. Comparar planes, repartir gastos, mezclar cantidades: siempre que dos maneras de contar deban coincidir, una ecuación encuentra el momento en que coinciden.
Pon a prueba lo que has aprendido
¿Cuál de las ecuaciones es equivalente a 5x − 4 = 21?
- a) 5x = 17
- b) x − 4 = 4,2
- c) 5x = 21
- d) 5x = 25
Respuesta correcta: d) 5x = 25 — Correcto: sumar 4 a los dos miembros da 5x = 25, y se vuelve atrás restando 4. Las dos tienen solución 5: 5 × 5 − 4 = 21.
¿Cuál es la solución de 7x − 9 = 3x + 11?
- a) x = 2
- b) x = 5
- c) x = 20
- d) x = 1/2
Respuesta correcta: b) x = 5 — Correcto: 7x − 3x = 11 + 9, luego 4x = 20 y x = 5. Comprueba: 7 × 5 − 9 = 26 y 3 × 5 + 11 = 26.
Rita resolvió 3x + 8 = x + 20 así: 3x − x = 20 + 8; 2x = 28; x = 14. Pero 14 no es la solución. ¿Qué salió mal?
- a) Debía haber dividido 28 entre 3, el mayor coeficiente
- b) Una ecuación no puede tener x en los dos miembros
- c) Sumó 8 al segundo miembro; debía ser 20 − 8 = 12
- d) 3x − x es 4x, no 2x
Respuesta correcta: c) Sumó 8 al segundo miembro; debía ser 20 − 8 = 12 — Correcto: el 8 sumaba en el primer miembro, así que se resta 8 a los dos. Entonces 2x = 12 y x = 6. Comprueba: 3 × 6 + 8 = 26 y 6 + 20 = 26.
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