Matemática 7.º ano: As diagonais de um quadrilátero e as suas propriedades
Matemática, 7.º ano (Portugal): O que é uma diagonal e o que cada tipo de quadrilátero faz com as suas duas: cortar-se ao meio, ser iguais, cruzar-se em ângulo reto.
Duas diagonais, três perguntas
Uma diagonal de um quadrilátero é um segmento que une dois vértices não consecutivos; um quadrilátero tem duas. Para cada quadrilátero podes fazer três perguntas às diagonais: cortam-se ao meio? São iguais? Cruzam-se em ângulo reto? Paralelogramo: cortam-se ao meio. Retângulo: cortam-se ao meio e são iguais. Losango: cortam-se ao meio e são perpendiculares. Quadrado: as três coisas. Papagaio (dois pares de lados consecutivos iguais): são perpendiculares, e uma delas corta a outra ao meio.
Porque é que as diagonais ajudam, e como descobrir as suas propriedades
Os lados e os ângulos nem sempre bastam para reconhecer um quadrilátero, e as diagonais dão pistas novas: um quadrado e um losango «torto» têm quatro lados iguais, mas só no quadrado as diagonais são iguais. Para descobrires estas propriedades, constrói vários quadriláteros em geometria dinâmica ou dobrando papel, mede e regista numa tabela. Repara na regularidade e formula uma conjetura. Um caso novo pode confirmá-la, mas um único contraexemplo deita-a abaixo.
Um caso: um retângulo e uma equação
Um retângulo ABCD tem a diagonal AC = 3x + 2 e a diagonal BD = 5x − 8 (em cm). As diagonais de um retângulo são iguais, logo 3x + 2 = 5x − 8. Então 2 + 8 = 5x − 3x, ou seja, 10 = 2x e x = 5. AC = 3 × 5 + 2 = 17 cm e BD = 5 × 5 − 8 = 17 cm: iguais, como devia ser. As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio, por isso o ponto M onde se cruzam fica a 17 ÷ 2 = 8,5 cm de cada vértice.
A armadilha: uma só propriedade quase nunca chega
Duas ideias falsas, ambas razoáveis. Primeira: «as diagonais do retângulo são perpendiculares». Desenha um retângulo de 6 cm por 3 cm e mede o ângulo: não é reto. Só seriam perpendiculares num quadrado. Segunda: «se as diagonais são perpendiculares, é um losango». Um papagaio também tem as diagonais perpendiculares, mas, se não for losango, só uma delas é cortada ao meio. Uma propriedade sozinha quase nunca identifica a figura: junta as pistas.
Onde vês isto
Um papagaio de papel tem duas varas que são as suas diagonais: a travessa é cortada ao meio pela vara maior, e cruzam-se em ângulo reto. O carpinteiro que monta um caixilho com os lados opostos iguais mede as duas diagonais: se forem iguais, os cantos são retos. Em geometria dinâmica podes arrastar um vértice e ver que propriedades das diagonais se mantêm, e quais desaparecem, quando a figura muda.
Testa o que aprendeste
Que propriedade das diagonais é verdadeira em TODOS os paralelogramos?
- a) São sempre iguais
- b) Cruzam-se sempre em ângulo reto
- c) Cada uma corta a outra ao meio
- d) Uma é sempre o dobro da outra
Resposta certa: c) Cada uma corta a outra ao meio — Certo: as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio, e por isso o mesmo vale para o retângulo, o losango e o quadrado.
Num retângulo ABCD, a diagonal AC = 2x + 5 e a diagonal BD = 4x − 9 (em cm). Quanto mede a diagonal AC?
- a) 7 cm
- b) 38 cm
- c) 9,5 cm
- d) 19 cm
Resposta certa: d) 19 cm — Certo: as diagonais de um retângulo são iguais, logo 2x + 5 = 4x − 9, x = 7 e AC = 2 × 7 + 5 = 19 cm (BD = 4 × 7 − 9 = 19 cm também).
A Marta mediu as diagonais de um quadrilátero e viu que são perpendiculares. Que conclusão é segura?
- a) É um losango
- b) Ainda não: pode ser, por exemplo, um losango ou um papagaio; falta outra pista
- c) É um retângulo
- d) Não pode ser um quadrado
Resposta certa: b) Ainda não: pode ser, por exemplo, um losango ou um papagaio; falta outra pista — Certo: uma propriedade só raramente identifica a figura. Se as diagonais também se cortarem ao meio, é um losango; se só uma for cortada ao meio, um papagaio.
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