Matemáticas 7.º curso: Las diagonales de un cuadrilátero y sus propiedades
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Qué es una diagonal y qué hace cada tipo de cuadrilátero con las suyas: cortarse por la mitad, ser iguales, cruzarse en ángulo recto.
Dos diagonales, tres preguntas
Una diagonal de un cuadrilátero es un segmento que une dos vértices no consecutivos; un cuadrilátero tiene dos. Para cada cuadrilátero puedes hacer tres preguntas a las diagonales: ¿se cortan por la mitad? ¿Son iguales? ¿Se cruzan en ángulo recto? Paralelogramo: se cortan por la mitad. Rectángulo: se cortan por la mitad y son iguales. Rombo: se cortan por la mitad y son perpendiculares. Cuadrado: las tres cosas. Cometa (dos pares de lados consecutivos iguales): son perpendiculares, y una corta a la otra por la mitad.
Por qué ayudan las diagonales y cómo descubrir sus propiedades
Los lados y los ángulos no siempre bastan para reconocer un cuadrilátero, y las diagonales dan pistas nuevas: un cuadrado y un rombo «torcido» tienen cuatro lados iguales, pero solo en el cuadrado las diagonales son iguales. Para descubrir estas propiedades, construye varios cuadriláteros en geometría dinámica o doblando papel, mide y anota en una tabla. Fíjate en la regularidad y formula una conjetura. Un caso nuevo puede apoyarla, pero un solo contraejemplo la derriba.
Un caso: un rectángulo y una ecuación
Un rectángulo ABCD tiene la diagonal AC = 3x + 2 y la diagonal BD = 5x − 8 (en cm). Las diagonales de un rectángulo son iguales, luego 3x + 2 = 5x − 8. Entonces 2 + 8 = 5x − 3x, es decir, 10 = 2x y x = 5. AC = 3 × 5 + 2 = 17 cm y BD = 5 × 5 − 8 = 17 cm: iguales, como debe ser. Las diagonales de un paralelogramo se cortan por la mitad, así que el punto M donde se cruzan queda a 17 ÷ 2 = 8,5 cm de cada vértice.
La trampa: una sola propiedad casi nunca basta
Dos ideas falsas, ambas razonables. Primera: «las diagonales del rectángulo son perpendiculares». Dibuja un rectángulo de 6 cm por 3 cm y mide el ángulo: no es recto. Solo serían perpendiculares en un cuadrado. Segunda: «si las diagonales son perpendiculares, es un rombo». Una cometa también tiene las diagonales perpendiculares, pero, si no es un rombo, solo una de ellas se corta por la mitad. Una propiedad sola casi nunca identifica la figura: junta las pistas.
Dónde lo ves
Una cometa de papel tiene dos varillas que son sus diagonales: el travesaño se corta por la mitad con la vara larga, y se cruzan en ángulo recto. El carpintero que monta un marco con los lados opuestos iguales mide las dos diagonales: si son iguales, las esquinas son rectas. En geometría dinámica puedes arrastrar un vértice y ver qué propiedades de las diagonales se mantienen, y cuáles desaparecen, cuando la figura cambia.
Pon a prueba lo que has aprendido
¿Qué propiedad de las diagonales es verdadera en TODOS los paralelogramos?
- a) Son siempre iguales
- b) Se cruzan siempre en ángulo recto
- c) Cada una corta a la otra por la mitad
- d) Una es siempre el doble de la otra
Respuesta correcta: c) Cada una corta a la otra por la mitad — Correcto: las diagonales de un paralelogramo se cortan por la mitad, y por eso lo mismo vale para el rectángulo, el rombo y el cuadrado.
En un rectángulo ABCD, la diagonal AC = 2x + 5 y la diagonal BD = 4x − 9 (en cm). ¿Cuánto mide la diagonal AC?
- a) 7 cm
- b) 38 cm
- c) 9,5 cm
- d) 19 cm
Respuesta correcta: d) 19 cm — Correcto: las diagonales de un rectángulo son iguales, luego 2x + 5 = 4x − 9, x = 7 y AC = 2 × 7 + 5 = 19 cm (BD = 4 × 7 − 9 = 19 cm también).
Marta midió las diagonales de un cuadrilátero y vio que son perpendiculares. ¿Qué conclusión es segura?
- a) Es un rombo
- b) Todavía no: puede ser, por ejemplo, un rombo o una cometa; falta otra pista
- c) Es un rectángulo
- d) No puede ser un cuadrado
Respuesta correcta: b) Todavía no: puede ser, por ejemplo, un rombo o una cometa; falta otra pista — Correcto: una sola propiedad rara vez identifica la figura. Si las diagonales también se cortan por la mitad, es un rombo; si solo una se corta por la mitad, una cometa.
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