Mathématiques 7e année : Les diagonales d'un quadrilatère et leurs propriétés
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Ce qu'est une diagonale et ce que chaque type de quadrilatère fait des deux siennes : se couper en leur milieu, être égales, se croiser à angle droit.
Deux diagonales, trois questions
Une diagonale d'un quadrilatère est un segment qui joint deux sommets non consécutifs ; un quadrilatère en a deux. Pour chaque quadrilatère, pose trois questions sur elles : se coupent-elles en leur milieu ? Sont-elles égales ? Se croisent-elles à angle droit ? Parallélogramme : elles se coupent en leur milieu. Rectangle : elles se coupent en leur milieu et sont égales. Losange : elles se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Carré : les trois. Cerf-volant (deux paires de côtés consécutifs égaux) : elles sont perpendiculaires, et l'une coupe l'autre en son milieu.
Pourquoi les diagonales aident, et comment trouver leurs propriétés
Les côtés et les angles ne suffisent pas toujours à reconnaître un quadrilatère, et les diagonales donnent de nouveaux indices : un carré et un losange « penché » ont quatre côtés égaux, mais seules les diagonales du carré sont égales. Pour trouver ces propriétés, construis plusieurs quadrilatères en géométrie dynamique ou en pliant du papier, mesure et note dans un tableau. Repère la régularité et formule une conjecture. Un nouveau cas peut la soutenir, mais un seul contre-exemple la fait tomber.
Un cas : un rectangle et une équation
Un rectangle ABCD a pour diagonales AC = 3x + 2 et BD = 5x − 8 (en cm). Les diagonales d'un rectangle sont égales, donc 3x + 2 = 5x − 8. Alors 2 + 8 = 5x − 3x, soit 10 = 2x et x = 5. AC = 3 × 5 + 2 = 17 cm et BD = 5 × 5 − 8 = 17 cm : égales, comme il se doit. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc le point M où elles se croisent est à 17 ÷ 2 = 8,5 cm de chaque sommet.
Le piège : une seule propriété suffit rarement
Deux idées fausses, toutes deux raisonnables. Première : « les diagonales du rectangle sont perpendiculaires ». Dessine un rectangle de 6 cm sur 3 cm et mesure l'angle : il n'est pas droit. Elles ne seraient perpendiculaires que dans un carré. Seconde : « si les diagonales sont perpendiculaires, c'est un losange ». Un cerf-volant a lui aussi des diagonales perpendiculaires, mais, s'il n'est pas un losange, une seule est coupée en son milieu. Une propriété seule identifie rarement la figure : rassemble les indices.
Où tu vois cela
Un cerf-volant en papier a deux baguettes qui sont ses diagonales : la traverse est coupée en son milieu par la longue baguette, et elles se croisent à angle droit. Le menuisier qui monte un cadre aux côtés opposés égaux mesure les deux diagonales : si elles sont égales, les coins sont droits. En géométrie dynamique, tu peux déplacer un sommet et voir quelles propriétés des diagonales restent, et lesquelles disparaissent, quand la figure change.
Teste ce que tu as appris
Quelle propriété des diagonales est vraie dans TOUS les parallélogrammes ?
- a) Elles sont toujours égales
- b) Elles se croisent toujours à angle droit
- c) Chacune coupe l'autre en son milieu
- d) L'une est toujours le double de l'autre
Bonne réponse: c) Chacune coupe l'autre en son milieu — Exact : les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, et il en va de même pour le rectangle, le losange et le carré.
Dans un rectangle ABCD, la diagonale AC = 2x + 5 et la diagonale BD = 4x − 9 (en cm). Combien mesure la diagonale AC ?
- a) 7 cm
- b) 38 cm
- c) 9,5 cm
- d) 19 cm
Bonne réponse: d) 19 cm — Exact : les diagonales d'un rectangle sont égales, donc 2x + 5 = 4x − 9, x = 7 et AC = 2 × 7 + 5 = 19 cm (BD = 4 × 7 − 9 = 19 cm aussi).
Marta a mesuré les diagonales d'un quadrilatère et a vu qu'elles sont perpendiculaires. Quelle conclusion est sûre ?
- a) C'est un losange
- b) Pas encore : ce peut être, par exemple, un losange ou un cerf-volant ; il faut un autre indice
- c) C'est un rectangle
- d) Ce ne peut pas être un carré
Bonne réponse: b) Pas encore : ce peut être, par exemple, un losange ou un cerf-volant ; il faut un autre indice — Exact : une seule propriété identifie rarement la figure. Si les diagonales se coupent aussi en leur milieu, c'est un losange ; si une seule est coupée en son milieu, un cerf-volant.
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