Mathematik Klasse 7: Die Diagonalen eines Vierecks und ihre Eigenschaften
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Was eine Diagonale ist und was jede Art von Viereck mit ihren zwei tut: sich halbieren, gleich lang sein, sich rechtwinklig schneiden.
Zwei Diagonalen, drei Fragen
Eine Diagonale eines Vierecks ist eine Strecke zwischen zwei nicht benachbarten Ecken; ein Viereck hat zwei. Stell zu jedem Viereck drei Fragen an die Diagonalen: Halbieren sie sich? Sind sie gleich lang? Schneiden sie sich rechtwinklig? Parallelogramm: Sie halbieren sich. Rechteck: Sie halbieren sich und sind gleich lang. Raute: Sie halbieren sich und stehen senkrecht. Quadrat: alle drei. Drachenviereck (zwei Paare gleich langer Nachbarseiten): Sie stehen senkrecht, und eine halbiert die andere.
Warum Diagonalen helfen und wie man ihre Eigenschaften findet
Seiten und Winkel reichen nicht immer, um ein Viereck zu erkennen, und Diagonalen liefern neue Hinweise: Ein Quadrat und eine „schiefe“ Raute haben beide vier gleich lange Seiten, aber nur beim Quadrat sind die Diagonalen gleich lang. Um diese Eigenschaften zu finden, konstruiere mehrere Vierecke in dynamischer Geometrie oder falte Papier, miss und trag die Ergebnisse in eine Tabelle ein. Erkenne die Regelmäßigkeit und formuliere eine Vermutung. Ein neuer Fall kann sie stützen, ein einziges Gegenbeispiel wirft sie um.
Ein Beispiel: ein Rechteck und eine Gleichung
Ein Rechteck ABCD hat die Diagonale AC = 3x + 2 und die Diagonale BD = 5x − 8 (in cm). Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang, also 3x + 2 = 5x − 8. Dann 2 + 8 = 5x − 3x, also 10 = 2x und x = 5. AC = 3 × 5 + 2 = 17 cm und BD = 5 × 5 − 8 = 17 cm: gleich lang, wie es sein muss. Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich, deshalb ist der Schnittpunkt M von jeder Ecke 17 ÷ 2 = 8,5 cm entfernt.
Die Falle: eine Eigenschaft reicht selten
Zwei falsche Ideen, beide nachvollziehbar. Erstens: „Die Diagonalen eines Rechtecks stehen senkrecht.“ Zeichne ein Rechteck mit 6 cm mal 3 cm und miss den Winkel: Er ist nicht rechtwinklig. Senkrecht wären sie nur im Quadrat. Zweitens: „Stehen die Diagonalen senkrecht, ist es eine Raute.“ Auch ein Drachenviereck hat senkrechte Diagonalen, aber ist es keine Raute, wird nur eine von ihnen halbiert. Eine Eigenschaft allein erkennt die Figur fast nie: Kombiniere die Hinweise.
Wo du das siehst
Ein Papierdrachen hat zwei Stäbe, die seine Diagonalen sind: Der Querstab wird vom langen Längsstab in der Mitte geteilt, und beide kreuzen sich rechtwinklig. Ein Tischler, der einen Rahmen mit gleich langen Gegenseiten baut, misst beide Diagonalen: Sind sie gleich lang, sind die Ecken rechtwinklig. In dynamischer Geometrie kannst du eine Ecke ziehen und sehen, welche Diagonaleneigenschaften bleiben und welche verschwinden, wenn sich die Figur ändert.
Teste, was du gelernt hast
Welche Eigenschaft der Diagonalen gilt in ALLEN Parallelogrammen?
- a) Sie sind immer gleich lang
- b) Sie schneiden sich immer rechtwinklig
- c) Jede halbiert die andere
- d) Eine ist immer doppelt so lang wie die andere
Richtige Antwort: c) Jede halbiert die andere — Richtig: Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich, und das gilt daher auch für Rechteck, Raute und Quadrat.
In einem Rechteck ABCD ist die Diagonale AC = 2x + 5 und die Diagonale BD = 4x − 9 (in cm). Wie lang ist die Diagonale AC?
- a) 7 cm
- b) 38 cm
- c) 9,5 cm
- d) 19 cm
Richtige Antwort: d) 19 cm — Richtig: Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang, also 2x + 5 = 4x − 9, x = 7 und AC = 2 × 7 + 5 = 19 cm (auch BD = 4 × 7 − 9 = 19 cm).
Marta hat die Diagonalen eines Vierecks gemessen und festgestellt, dass sie senkrecht stehen. Was kann sie sicher folgern?
- a) Es ist eine Raute
- b) Noch nicht: Es könnte zum Beispiel eine Raute oder ein Drachenviereck sein; ein weiterer Hinweis fehlt
- c) Es ist ein Rechteck
- d) Es kann kein Quadrat sein
Richtige Antwort: b) Noch nicht: Es könnte zum Beispiel eine Raute oder ein Drachenviereck sein; ein weiterer Hinweis fehlt — Richtig: Eine Eigenschaft erkennt eine Figur selten. Halbieren sich die Diagonalen auch, ist es eine Raute; wird nur eine halbiert, ein Drachenviereck.
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