Matematica classe 7: Le diagonali di un quadrilatero e le loro proprietà
Matematica, classe 7 (Portogallo): Che cos'è una diagonale e cosa fa ogni tipo di quadrilatero con le sue due: dividersi a metà, essere uguali, incrociarsi ad angolo retto.
Due diagonali, tre domande
Una diagonale di un quadrilatero è un segmento che unisce due vertici non consecutivi; un quadrilatero ne ha due. Per ogni quadrilatero puoi porre tre domande sulle diagonali: si dividono a metà? Sono uguali? Si incrociano ad angolo retto? Parallelogramma: si dividono a metà. Rettangolo: si dividono a metà e sono uguali. Rombo: si dividono a metà e sono perpendicolari. Quadrato: tutte e tre. Aquilone (due coppie di lati consecutivi uguali): sono perpendicolari, e una taglia l'altra a metà.
Perché le diagonali aiutano e come scoprirne le proprietà
I lati e gli angoli non bastano sempre a riconoscere un quadrilatero, e le diagonali danno nuovi indizi: un quadrato e un rombo «storto» hanno quattro lati uguali, ma solo nel quadrato le diagonali sono uguali. Per scoprire queste proprietà, costruisci vari quadrilateri in geometria dinamica o piegando la carta, misura e registra in una tabella. Nota la regolarità e formula una congettura. Un nuovo caso può sostenerla, ma un solo controesempio la fa cadere.
Un caso: un rettangolo e un'equazione
Un rettangolo ABCD ha la diagonale AC = 3x + 2 e la diagonale BD = 5x − 8 (in cm). Le diagonali di un rettangolo sono uguali, quindi 3x + 2 = 5x − 8. Allora 2 + 8 = 5x − 3x, cioè 10 = 2x e x = 5. AC = 3 × 5 + 2 = 17 cm e BD = 5 × 5 − 8 = 17 cm: uguali, come deve essere. Le diagonali di un parallelogramma si dividono a metà, quindi il punto M in cui si incrociano dista 17 ÷ 2 = 8,5 cm da ogni vertice.
La trappola: una sola proprietà raramente basta
Due idee false, entrambe ragionevoli. Prima: «le diagonali del rettangolo sono perpendicolari». Disegna un rettangolo di 6 cm per 3 cm e misura l'angolo: non è retto. Sarebbero perpendicolari solo in un quadrato. Seconda: «se le diagonali sono perpendicolari, è un rombo». Anche un aquilone ha le diagonali perpendicolari, ma, se non è un rombo, solo una è divisa a metà. Una proprietà da sola quasi mai identifica la figura: metti insieme gli indizi.
Dove lo vedi
Un aquilone di carta ha due bacchette che sono le sue diagonali: la traversa è divisa a metà dalla bacchetta lunga, e si incrociano ad angolo retto. Il falegname che monta un telaio con i lati opposti uguali misura le due diagonali: se sono uguali, gli angoli sono retti. In geometria dinamica puoi trascinare un vertice e vedere quali proprietà delle diagonali restano, e quali scompaiono, quando la figura cambia.
Metti alla prova quello che hai imparato
Quale proprietà delle diagonali è vera in TUTTI i parallelogrammi?
- a) Sono sempre uguali
- b) Si incrociano sempre ad angolo retto
- c) Ognuna taglia l'altra a metà
- d) Una è sempre il doppio dell'altra
Risposta corretta: c) Ognuna taglia l'altra a metà — Giusto: le diagonali di un parallelogramma si dividono a metà, e lo stesso vale per rettangolo, rombo e quadrato.
In un rettangolo ABCD, la diagonale AC = 2x + 5 e la diagonale BD = 4x − 9 (in cm). Quanto misura la diagonale AC?
- a) 7 cm
- b) 38 cm
- c) 9,5 cm
- d) 19 cm
Risposta corretta: d) 19 cm — Giusto: le diagonali di un rettangolo sono uguali, quindi 2x + 5 = 4x − 9, x = 7 e AC = 2 × 7 + 5 = 19 cm (anche BD = 4 × 7 − 9 = 19 cm).
Marta ha misurato le diagonali di un quadrilatero e ha visto che sono perpendicolari. Quale conclusione è sicura?
- a) È un rombo
- b) Non ancora: può essere, per esempio, un rombo o un aquilone; serve un altro indizio
- c) È un rettangolo
- d) Non può essere un quadrato
Risposta corretta: b) Non ancora: può essere, per esempio, un rombo o un aquilone; serve un altro indizio — Giusto: una sola proprietà raramente identifica la figura. Se le diagonali si dividono anche a metà, è un rombo; se solo una è divisa a metà, un aquilone.
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