Matemática 7.º ano: Proporcionalidade direta como função
Matemática, 7.º ano (Portugal): Uma função de proporcionalidade direta é y = k × x com um domínio: a tabela, o gráfico (pontos numa reta pela origem) e a expressão contam a mesma história.
Uma expressão e um domínio
Já conheces a constante k e a expressão y = k × x das relações de proporcionalidade direta. Agora olha para isso como uma função: a expressão e o domínio (os valores permitidos para x) definem-na por completo. A mesma expressão com domínios diferentes dá funções diferentes: y = 2 × x com x em {1, 2, 3} tem só 3 pares, (1, 2), (2, 4) e (3, 6); com x a tomar qualquer valor a partir de 0 tem infinitos. Duas marcas identificam esta função: o objeto 0 tem sempre imagem 0, e duplicar x duplica y.
Porque é que o gráfico é uma reta pela origem
Toma y = 3 × x. Quando x aumenta 1, y aumenta sempre 3, e por isso os pontos (1, 3), (2, 6), (3, 9) ficam igualmente espaçados numa reta. E o (0, 0) pertence-lhe, porque 3 × 0 = 0. Se o domínio são valores separados, o gráfico são pontos dessa reta; se é um intervalo, o gráfico é um pedaço da reta. Assim, entre vários gráficos, os de proporcionalidade direta estão numa reta que passa por (0, 0). Uma só função resolve ainda todos os problemas de valor omisso: de x tiras y = k × x, e de y tiras x = y ÷ k.
Escala de um mapa: expressão, tabela e gráfico
Num mapa à escala 1 : 50 000, 3 cm no mapa são 3 × 50 000 = 150 000 cm = 1,5 km no terreno. A constante é 1,5 ÷ 3 = 0,5 km por cm, logo y = 0,5 × x, com x de 0 a 8 cm (o domínio) e y em km. Tabela: x = 2, 4, 6, 8 dá y = 1, 2, 3, 4. Gráfico: o segmento de (0, 0) a (8, 4). Usa-o: 5,5 cm são 0,5 × 5,5 = 2,75 km, e 3,5 km no terreno são 3,5 ÷ 0,5 = 7 cm. No sentido inverso: com x = 3, 5, 7 e y = 1,5, 2,5, 3,5, o quociente y ÷ x é sempre 0,5, logo y = 0,5 × x.
Ser uma reta não chega
Os pontos (1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11) estão numa reta, e muita gente conclui que y é diretamente proporcional a x. Mas as razões y ÷ x são 5, 3,5, 3 e 2,75: não são constantes. Duplicar x de 1 para 2 não duplica y (5 → 7, e não 10). Prolongada até x = 0, a reta daria y = 3, e por isso não passa pela origem. Para haver proporcionalidade direta é preciso uma reta que passe por (0, 0), ou todas as razões iguais ao mesmo k.
Densidade, escalas e fotografias ampliadas
Em Físico-Química, a massa de um pedaço de um material homogéneo é diretamente proporcional ao seu volume: para uma massa volúmica de 2,7 g/cm³, cerca da do alumínio, y = 2,7 × x, e por isso 10 cm³ pesam 27 g e 25 cm³ pesam 67,5 g. Em Geografia, a escala de um mapa liga comprimentos no mapa a comprimentos reais. Em geometria, se uma fotografia de 6 cm × 4 cm for ampliada 3 vezes, os comprimentos correspondentes passam a 18 cm e 12 cm, cada um 3 vezes o original. Em todos podes testar uma tabela ou um gráfico: razão constante, reta pela origem.
Testa o que aprendeste
Qual destas expressões define uma função de proporcionalidade direta?
- a) y = 6 × x
- b) y = x + 6
- c) y = 6
Resposta certa: a) y = 6 × x — Tem a forma y = k × x com k = 6: duplicar x duplica y, e x = 0 dá y = 0.
Numa experiência, mediu-se a massa y (g) de uma amostra para vários volumes x (cm³): (2, 9), (4, 18), (6, 27), (8, 36). Que expressão corresponde à tabela?
- a) y = x + 7
- b) y = 4,5 × x
- c) y = 9 × x
Resposta certa: b) y = 4,5 × x — 9 ÷ 2, 18 ÷ 4, 27 ÷ 6 e 36 ÷ 8 dão todos 4,5, logo y = 4,5 × x.
Os pontos (1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11) estão numa reta. Será y diretamente proporcional a x?
- a) Sim, porque os pontos estão numa reta
- b) Sim, porque y aumenta 2 sempre que x aumenta 1
- c) Não: as razões y ÷ x (5; 3,5; 3; 2,75) não são constantes
Resposta certa: c) Não: as razões y ÷ x (5; 3,5; 3; 2,75) não são constantes — Na proporcionalidade direta, y ÷ x é sempre o mesmo k. Aqui muda, e a reta não passa pela origem.
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