Mathematik Klasse 7: Direkte Proportionalität als Funktion
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Eine direkt proportionale Funktion ist y = k × x mit einer Definitionsmenge: Tabelle, Graph (Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung) und Term erzählen dieselbe Geschichte.
Ein Term und eine Definitionsmenge
Die Konstante k und den Term y = k × x kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Sieh sie jetzt als Funktion: Term und Definitionsmenge (die erlaubten Werte für x) legen sie vollständig fest. Derselbe Term mit anderer Definitionsmenge ergibt eine andere Funktion: y = 2 × x mit x aus {1, 2, 3} hat nur 3 Paare, (1 | 2), (2 | 4) und (3 | 6); nimmt x jeden Wert ab 0 an, gibt es unendlich viele. Zwei Merkmale kennzeichnen diese Funktion: Das Element 0 hat immer das Bild 0, und verdoppelt man x, verdoppelt sich y.
Warum der Graph eine Gerade durch den Ursprung ist
Nimm y = 3 × x. Wächst x um 1, wächst y immer um 3, darum liegen die Punkte (1 | 3), (2 | 6), (3 | 9) in gleichen Abständen auf einer Geraden. Auch (0 | 0) liegt darauf, denn 3 × 0 = 0. Besteht die Definitionsmenge aus einzelnen Werten, sind es Punkte dieser Geraden; ist sie ein Intervall, ist der Graph ein Stück der Geraden. Unter mehreren Graphen liegen die direkt proportionalen also auf einer Geraden durch (0 | 0). Eine einzige Funktion löst auch jede Aufgabe mit fehlendem Wert: Aus x folgt y = k × x, aus y folgt x = y ÷ k.
Kartenmaßstab: Term, Tabelle und Graph
Auf einer Karte im Maßstab 1 : 50 000 sind 3 cm auf der Karte 3 × 50 000 = 150 000 cm = 1,5 km im Gelände. Die Konstante ist 1,5 ÷ 3 = 0,5 km pro cm, also y = 0,5 × x, mit x von 0 bis 8 cm (Definitionsmenge) und y in km. Tabelle: x = 2, 4, 6, 8 ergibt y = 1, 2, 3, 4. Graph: die Strecke von (0 | 0) bis (8 | 4). Anwendung: 5,5 cm sind 0,5 × 5,5 = 2,75 km, und 3,5 km im Gelände sind 3,5 ÷ 0,5 = 7 cm. Umgekehrt: Aus x = 3, 5, 7 und y = 1,5, 2,5, 3,5 folgt, dass y ÷ x immer 0,5 ist, also y = 0,5 × x.
Eine Gerade allein genügt nicht
Die Punkte (1 | 5), (2 | 7), (3 | 9), (4 | 11) liegen auf einer Geraden, und viele schließen daraus, dass y direkt proportional zu x ist. Aber die Quotienten y ÷ x sind 5; 3,5; 3 und 2,75: Sie sind nicht konstant. Verdoppelt man x von 1 auf 2, verdoppelt sich y nicht (5 → 7, nicht 10). Bis x = 0 verlängert, ergäbe die Gerade y = 3, sie geht also nicht durch den Ursprung. Für direkte Proportionalität braucht man eine Gerade durch (0 | 0) oder lauter gleiche Quotienten k.
Dichte, Maßstäbe und vergrößerte Fotos
In Physik und Chemie ist die Masse eines Stücks eines homogenen Materials direkt proportional zu seinem Volumen: Bei einer Dichte von 2,7 g/cm³, etwa der von Aluminium, gilt y = 2,7 × x, also wiegen 10 cm³ 27 g und 25 cm³ 67,5 g. In Geografie verbindet der Kartenmaßstab Längen auf der Karte mit wirklichen Längen. In der Geometrie werden bei einem 6 cm × 4 cm großen Foto, das dreimal vergrößert wird, die entsprechenden Längen zu 18 cm und 12 cm, jeweils das Dreifache. Überall kannst du eine Tabelle oder einen Graphen prüfen: gleicher Quotient, Gerade durch den Ursprung.
Teste, was du gelernt hast
Welcher dieser Terme definiert eine direkt proportionale Funktion?
- a) y = 6 × x
- b) y = x + 6
- c) y = 6
Richtige Antwort: a) y = 6 × x — Sie hat die Form y = k × x mit k = 6: Verdoppeln von x verdoppelt y, und x = 0 ergibt y = 0.
In einem Experiment wurde die Masse y (g) einer Probe für mehrere Volumina x (cm³) gemessen: (2 | 9), (4 | 18), (6 | 27), (8 | 36). Welcher Term passt zur Tabelle?
- a) y = x + 7
- b) y = 4,5 × x
- c) y = 9 × x
Richtige Antwort: b) y = 4,5 × x — 9 ÷ 2, 18 ÷ 4, 27 ÷ 6 und 36 ÷ 8 ergeben alle 4,5, also y = 4,5 × x.
Die Punkte (1 | 5), (2 | 7), (3 | 9), (4 | 11) liegen auf einer Geraden. Ist y direkt proportional zu x?
- a) Ja, weil die Punkte auf einer Geraden liegen
- b) Ja, weil y jedes Mal um 2 wächst, wenn x um 1 wächst
- c) Nein: Die Quotienten y ÷ x (5; 3,5; 3; 2,75) sind nicht konstant
Richtige Antwort: c) Nein: Die Quotienten y ÷ x (5; 3,5; 3; 2,75) sind nicht konstant — Bei direkter Proportionalität ist y ÷ x immer dasselbe k. Hier ändert es sich, und die Gerade geht nicht durch den Ursprung.
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