Matemáticas 7.º curso: Proporcionalidad directa como función
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Una función de proporcionalidad directa es y = k × x con un dominio: la tabla, el gráfico (puntos en una recta por el origen) y la expresión cuentan la misma historia.
Una expresión y un dominio
Ya conoces la constante k y la expresión y = k × x de las relaciones de proporcionalidad directa. Ahora míralo como una función: la expresión y el dominio (los valores permitidos para x) la definen por completo. La misma expresión con dominios distintos da funciones distintas: y = 2 × x con x en {1, 2, 3} tiene solo 3 pares, (1, 2), (2, 4) y (3, 6); con x tomando cualquier valor desde 0 tiene infinitos. Dos marcas identifican esta función: el objeto 0 tiene siempre imagen 0, y duplicar x duplica y.
Por qué el gráfico es una recta por el origen
Toma y = 3 × x. Cuando x aumenta 1, y aumenta siempre 3, y por eso los puntos (1, 3), (2, 6), (3, 9) quedan igualmente espaciados sobre una recta. Y el (0, 0) le pertenece, porque 3 × 0 = 0. Si el dominio son valores separados, el gráfico son puntos de esa recta; si es un intervalo, el gráfico es un trozo de la recta. Así, entre varios gráficos, los de proporcionalidad directa están en una recta que pasa por (0, 0). Una sola función resuelve además todos los problemas de valor omitido: de x sacas y = k × x, y de y sacas x = y ÷ k.
Escala de un mapa: expresión, tabla y gráfico
En un mapa a escala 1 : 50 000, 3 cm en el mapa son 3 × 50 000 = 150 000 cm = 1,5 km en el terreno. La constante es 1,5 ÷ 3 = 0,5 km por cm, luego y = 0,5 × x, con x de 0 a 8 cm (el dominio) e y en km. Tabla: x = 2, 4, 6, 8 da y = 1, 2, 3, 4. Gráfico: el segmento de (0, 0) a (8, 4). Úsalo: 5,5 cm son 0,5 × 5,5 = 2,75 km, y 3,5 km en el terreno son 3,5 ÷ 0,5 = 7 cm. En sentido inverso: con x = 3, 5, 7 e y = 1,5, 2,5, 3,5, el cociente y ÷ x es siempre 0,5, luego y = 0,5 × x.
Que sea una recta no basta
Los puntos (1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11) están en una recta, y mucha gente concluye que y es directamente proporcional a x. Pero las razones y ÷ x son 5, 3,5, 3 y 2,75: no son constantes. Duplicar x de 1 a 2 no duplica y (5 → 7, no 10). Prolongada hasta x = 0, la recta daría y = 3, así que no pasa por el origen. Para que haya proporcionalidad directa hace falta una recta que pase por (0, 0), o todas las razones iguales al mismo k.
Densidad, escalas y fotografías ampliadas
En Física y Química, la masa de un trozo de un material homogéneo es directamente proporcional a su volumen: para una densidad de 2,7 g/cm³, aproximadamente la del aluminio, y = 2,7 × x, así que 10 cm³ pesan 27 g y 25 cm³ pesan 67,5 g. En Geografía, la escala de un mapa une longitudes del mapa con longitudes reales. En geometría, si una foto de 6 cm × 4 cm se amplía 3 veces, las longitudes correspondientes pasan a 18 cm y 12 cm, cada una 3 veces la original. En todos puedes probar una tabla o un gráfico: razón constante, recta por el origen.
Pon a prueba lo que has aprendido
¿Cuál de estas expresiones define una función de proporcionalidad directa?
- a) y = 6 × x
- b) y = x + 6
- c) y = 6
Respuesta correcta: a) y = 6 × x — Tiene la forma y = k × x con k = 6: duplicar x duplica y, y x = 0 da y = 0.
En un experimento se midió la masa y (g) de una muestra para varios volúmenes x (cm³): (2, 9), (4, 18), (6, 27), (8, 36). ¿Qué expresión corresponde a la tabla?
- a) y = x + 7
- b) y = 4,5 × x
- c) y = 9 × x
Respuesta correcta: b) y = 4,5 × x — 9 ÷ 2, 18 ÷ 4, 27 ÷ 6 y 36 ÷ 8 dan todos 4,5, luego y = 4,5 × x.
Los puntos (1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11) están en una recta. ¿Es y directamente proporcional a x?
- a) Sí, porque los puntos están en una recta
- b) Sí, porque y aumenta 2 cada vez que x aumenta 1
- c) No: las razones y ÷ x (5; 3,5; 3; 2,75) no son constantes
Respuesta correcta: c) No: las razones y ÷ x (5; 3,5; 3; 2,75) no son constantes — En la proporcionalidad directa, y ÷ x es siempre el mismo k. Aquí cambia, y la recta no pasa por el origen.
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