Matematica classe 7: La proporzionalità diretta come funzione
Matematica, classe 7 (Portogallo): Una funzione di proporzionalità diretta è y = k × x con un dominio: la tabella, il grafico (punti su una retta per l'origine) e l'espressione raccontano la stessa storia.
Un'espressione e un dominio
Conosci già la costante k e l'espressione y = k × x delle relazioni di proporzionalità diretta. Ora guardala come una funzione: l'espressione e il dominio (i valori permessi per x) la definiscono per intero. La stessa espressione con domini diversi dà funzioni diverse: y = 2 × x con x in {1, 2, 3} ha solo 3 coppie, (1, 2), (2, 4) e (3, 6); con x che assume qualsiasi valore da 0 in su ne ha infinite. Due segni identificano questa funzione: l'oggetto 0 ha sempre immagine 0, e raddoppiare x raddoppia y.
Perché il grafico è una retta per l'origine
Prendi y = 3 × x. Quando x aumenta di 1, y aumenta sempre di 3, perciò i punti (1, 3), (2, 6), (3, 9) sono equidistanti su una retta. E (0, 0) le appartiene, perché 3 × 0 = 0. Se il dominio è fatto di valori separati, il grafico è fatto di punti di quella retta; se è un intervallo, il grafico è un pezzo di retta. Tra più grafici, quindi, quelli della proporzionalità diretta stanno su una retta che passa per (0, 0). Una sola funzione risolve anche tutti i problemi di valore mancante: da x ricavi y = k × x, e da y ricavi x = y ÷ k.
Scala di una mappa: espressione, tabella e grafico
Su una mappa in scala 1 : 50 000, 3 cm sulla mappa sono 3 × 50 000 = 150 000 cm = 1,5 km sul terreno. La costante è 1,5 ÷ 3 = 0,5 km per cm, quindi y = 0,5 × x, con x da 0 a 8 cm (il dominio) e y in km. Tabella: x = 2, 4, 6, 8 dà y = 1, 2, 3, 4. Grafico: il segmento da (0, 0) a (8, 4). Usalo: 5,5 cm sono 0,5 × 5,5 = 2,75 km, e 3,5 km sul terreno sono 3,5 ÷ 0,5 = 7 cm. Nel verso inverso: con x = 3, 5, 7 e y = 1,5, 2,5, 3,5, il quoziente y ÷ x è sempre 0,5, quindi y = 0,5 × x.
Essere una retta non basta
I punti (1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11) stanno su una retta, e molti concludono che y è direttamente proporzionale a x. Ma i rapporti y ÷ x sono 5; 3,5; 3 e 2,75: non sono costanti. Raddoppiare x da 1 a 2 non raddoppia y (5 → 7, non 10). Prolungata fino a x = 0, la retta darebbe y = 3, quindi non passa per l'origine. Per la proporzionalità diretta serve una retta che passi per (0, 0), oppure tutti i rapporti uguali allo stesso k.
Densità, scale e fotografie ingrandite
In Fisica e Chimica, la massa di un pezzo di materiale omogeneo è direttamente proporzionale al suo volume: per una densità di 2,7 g/cm³, circa quella dell'alluminio, y = 2,7 × x, quindi 10 cm³ pesano 27 g e 25 cm³ pesano 67,5 g. In Geografia, la scala di una mappa collega le lunghezze sulla mappa a quelle reali. In geometria, se una foto di 6 cm × 4 cm viene ingrandita 3 volte, le lunghezze corrispondenti diventano 18 cm e 12 cm, ciascuna 3 volte l'originale. In tutti puoi verificare una tabella o un grafico: rapporto costante, retta per l'origine.
Metti alla prova quello che hai imparato
Quale di queste espressioni definisce una funzione di proporzionalità diretta?
- a) y = 6 × x
- b) y = x + 6
- c) y = 6
Risposta corretta: a) y = 6 × x — Ha la forma y = k × x con k = 6: raddoppiare x raddoppia y, e x = 0 dà y = 0.
In un esperimento si è misurata la massa y (g) di un campione per vari volumi x (cm³): (2, 9), (4, 18), (6, 27), (8, 36). Quale espressione corrisponde alla tabella?
- a) y = x + 7
- b) y = 4,5 × x
- c) y = 9 × x
Risposta corretta: b) y = 4,5 × x — 9 ÷ 2, 18 ÷ 4, 27 ÷ 6 e 36 ÷ 8 danno tutti 4,5, quindi y = 4,5 × x.
I punti (1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11) stanno su una retta. y è direttamente proporzionale a x?
- a) Sì, perché i punti stanno su una retta
- b) Sì, perché y aumenta di 2 ogni volta che x aumenta di 1
- c) No: i rapporti y ÷ x (5; 3,5; 3; 2,75) non sono costanti
Risposta corretta: c) No: i rapporti y ÷ x (5; 3,5; 3; 2,75) non sono costanti — Nella proporzionalità diretta, y ÷ x è sempre lo stesso k. Qui cambia, e la retta non passa per l'origine.
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