Mathématiques 7e année : La proportionnalité directe comme fonction
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Une fonction de proportionnalité directe est y = k × x avec un ensemble de définition : le tableau, le graphique (points sur une droite passant par l'origine) et l'expression racontent la même histoire.
Une expression et un ensemble de définition
Tu connais déjà la constante k et l'expression y = k × x des relations de proportionnalité directe. Regarde-la maintenant comme une fonction : l'expression et l'ensemble de définition (les valeurs permises pour x) la définissent entièrement. La même expression avec des ensembles différents donne des fonctions différentes : y = 2 × x avec x dans {1, 2, 3} n'a que 3 couples, (1, 2), (2, 4) et (3, 6) ; avec x prenant toute valeur à partir de 0, elle en a une infinité. Deux marques identifient cette fonction : l'objet 0 a toujours pour image 0, et doubler x double y.
Pourquoi le graphique est une droite par l'origine
Prends y = 3 × x. Quand x augmente de 1, y augmente toujours de 3, donc les points (1, 3), (2, 6), (3, 9) sont régulièrement espacés sur une droite. Et (0, 0) en fait partie, car 3 × 0 = 0. Si l'ensemble de définition est fait de valeurs isolées, le graphique est fait de points de cette droite ; si c'est un intervalle, le graphique est un morceau de la droite. Parmi plusieurs graphiques, ceux de la proportionnalité directe sont donc sur une droite passant par (0, 0). Une seule fonction résout aussi tous les problèmes de valeur manquante : de x on tire y = k × x, et de y on tire x = y ÷ k.
Échelle d'une carte : expression, tableau et graphique
Sur une carte à l'échelle 1 : 50 000, 3 cm sur la carte font 3 × 50 000 = 150 000 cm = 1,5 km sur le terrain. La constante est 1,5 ÷ 3 = 0,5 km par cm, donc y = 0,5 × x, avec x de 0 à 8 cm (l'ensemble de définition) et y en km. Tableau : x = 2, 4, 6, 8 donne y = 1, 2, 3, 4. Graphique : le segment de (0 ; 0) à (8 ; 4). Utilise-le : 5,5 cm font 0,5 × 5,5 = 2,75 km, et 3,5 km sur le terrain font 3,5 ÷ 0,5 = 7 cm. Dans l'autre sens : avec x = 3, 5, 7 et y = 1,5, 2,5, 3,5, le quotient y ÷ x vaut toujours 0,5, donc y = 0,5 × x.
Une droite ne suffit pas
Les points (1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11) sont sur une droite, et beaucoup concluent que y est directement proportionnel à x. Mais les rapports y ÷ x valent 5 ; 3,5 ; 3 et 2,75 : ils ne sont pas constants. Doubler x de 1 à 2 ne double pas y (5 → 7, pas 10). Prolongée jusqu'à x = 0, la droite donnerait y = 3, donc elle ne passe pas par l'origine. Pour la proportionnalité directe, il faut une droite passant par (0, 0), ou tous les rapports égaux au même k.
Masse volumique, échelles et photos agrandies
En physique-chimie, la masse d'un morceau de matériau homogène est directement proportionnelle à son volume : pour une masse volumique de 2,7 g/cm³, proche de celle de l'aluminium, y = 2,7 × x, donc 10 cm³ pèsent 27 g et 25 cm³ pèsent 67,5 g. En géographie, l'échelle d'une carte relie les longueurs sur la carte aux longueurs réelles. En géométrie, si une photo de 6 cm × 4 cm est agrandie 3 fois, les longueurs correspondantes deviennent 18 cm et 12 cm, chacune 3 fois l'originale. Partout tu peux tester un tableau ou un graphique : rapport constant, droite par l'origine.
Teste ce que tu as appris
Laquelle de ces expressions définit une fonction de proportionnalité directe ?
- a) y = 6 × x
- b) y = x + 6
- c) y = 6
Bonne réponse: a) y = 6 × x — Elle a la forme y = k × x avec k = 6 : doubler x double y, et x = 0 donne y = 0.
Dans une expérience, on a mesuré la masse y (g) d'un échantillon pour plusieurs volumes x (cm³) : (2 ; 9), (4 ; 18), (6 ; 27), (8 ; 36). Quelle expression correspond au tableau ?
- a) y = x + 7
- b) y = 4,5 × x
- c) y = 9 × x
Bonne réponse: b) y = 4,5 × x — 9 ÷ 2, 18 ÷ 4, 27 ÷ 6 et 36 ÷ 8 valent tous 4,5, donc y = 4,5 × x.
Les points (1 ; 5), (2 ; 7), (3 ; 9), (4 ; 11) sont sur une droite. y est-il directement proportionnel à x ?
- a) Oui, parce que les points sont sur une droite
- b) Oui, parce que y augmente de 2 chaque fois que x augmente de 1
- c) Non : les rapports y ÷ x (5 ; 3,5 ; 3 ; 2,75) ne sont pas constants
Bonne réponse: c) Non : les rapports y ÷ x (5 ; 3,5 ; 3 ; 2,75) ne sont pas constants — En proportionnalité directe, y ÷ x vaut toujours le même k. Ici il change, et la droite ne passe pas par l'origine.
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