Contar combinações — Matemática, 14–17 anos
Como contar selecções possíveis sem escrever todas as escolhas. Matemática, 14–17 anos.
Escolhas, não ordenações
Uma combinação é uma escolha em que a ordem não interessa. Escolher a Ana, o Ben e a Chi é o mesmo grupo que escolher a Chi, a Ana e o Ben. A notação C(n,r) conta quantos grupos de r objectos se podem seleccionar de n objectos.
Porque contar de forma sistemática?
Quando as escolhas se multiplicam, fazer uma lista facilita esquecimentos e repetições. Um treinador que escolhe 3 jogadores de 10 precisa do número de equipas diferentes, não da ordem em que escreveu os nomes. As combinações nasceram deste problema e também sustentam muitos cálculos de probabilidade.
Escolher uma comissão
Quantas comissões de 3 pessoas se podem formar com 5? Começamos pelas escolhas ordenadas: 5 × 4 × 3 = 60. Cada comissão aparece 3 × 2 × 1 = 6 vezes, uma por cada ordem. Dividimos: 60 ÷ 6 = 10. Equivalentemente, C(5,3) = 5!/(3!2!) = 10.
Não contar duas vezes a ordem
Um erro comum é contar ABC, ACB e BAC como comissões diferentes. É compreensível, porque são ordens de escrita diferentes, mas a comissão não mudou. Primeiro decide-se o que a pergunta considera diferente; só se eliminam ordens repetidas quando a ordem não interessa realmente.
Planear escolhas reais
As combinações ajudam a planear equipas, painéis, amostras de investigação e conjuntos de boletins de lotaria. Um cientista que escolhe 4 locais de teste entre 20 pode saber quantas amostras são possíveis antes de recolher dados. O método só é correcto quando todos os objectos podem ser escolhidos e a ordem não tem significado.
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