Compter les combinaisons — Mathématiques, 14–17 ans

Comment compter les sélections possibles sans les écrire toutes. Mathématiques, 14–17 ans.

Des sélections, pas des ordres

Une combinaison est un choix où l’ordre ne compte pas. Choisir Ana, Ben et Chi donne le même groupe que choisir Chi, Ana et Ben. La notation C(n,r) compte le nombre de groupes de r objets que l’on peut choisir parmi n.

Pourquoi compter systématiquement ?

Quand les choix se multiplient, les lister favorise les oublis et les doublons. Un entraîneur qui choisit 3 joueurs parmi 10 veut connaître le nombre d’équipes différentes, pas l’ordre d’écriture des noms. Les combinaisons répondent à ce problème et servent aussi aux calculs de probabilités.

Choisir un comité

Combien de comités de 3 personnes peut-on former avec 5 personnes ? Comptons d’abord les choix ordonnés : 5 × 4 × 3 = 60. Chaque comité apparaît 3 × 2 × 1 = 6 fois, une par ordre. On divise : 60 ÷ 6 = 10. Ainsi, C(5,3) = 5!/(3!2!) = 10.

Ne comptez pas deux fois l’ordre

Une erreur fréquente consiste à compter ABC, ACB et BAC comme des comités différents. C’est compréhensible car les ordres d’écriture diffèrent, mais le comité n’a pas changé. Il faut d’abord décider ce que la question considère comme différent et supprimer les répétitions seulement si l’ordre ne compte pas.

Planifier des choix réels

Les combinaisons aident à planifier des équipes, des jurys, des échantillons de recherche et des groupes de billets de loterie. Un scientifique qui choisit 4 sites parmi 20 peut connaître le nombre d’échantillons possibles avant de recueillir les données. La méthode convient seulement si chaque objet peut être choisi et si l’ordre n’a pas de sens.

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