Contare le combinazioni — Matematica, 14–17 anni
Come contare le selezioni possibili senza elencarle tutte. Matematica, 14–17 anni.
Selezioni, non ordinamenti
Una combinazione è una scelta in cui l’ordine non conta. Scegliere Ana, Ben e Chi forma lo stesso gruppo che scegliere Chi, Ana e Ben. La notazione C(n,r) conta quanti gruppi di r oggetti si possono scegliere tra n oggetti.
Perché contare in modo sistematico?
Quando le possibilità aumentano, elencarle porta facilmente a dimenticanze e doppioni. Un allenatore che sceglie 3 giocatori tra 10 vuole sapere quante squadre diverse esistono, non l’ordine dei nomi. Le combinazioni nascono da questo problema e servono anche nei calcoli di probabilità.
Scegliere una commissione
Quante commissioni di 3 persone si possono formare con 5 persone? Prima contiamo le scelte ordinate: 5 × 4 × 3 = 60. Ogni commissione compare 3 × 2 × 1 = 6 volte, una per ogni ordine. Dividiamo: 60 ÷ 6 = 10. Equivalentemente, C(5,3) = 5!/(3!2!) = 10.
Non contare due volte l’ordine
Un errore comune è contare ABC, ACB e BAC come commissioni diverse. È comprensibile perché cambia l’ordine di scrittura, ma la commissione è la stessa. Prima bisogna capire che cosa la domanda considera diverso; si eliminano gli ordinamenti ripetuti solo quando l’ordine non conta.
Pianificare scelte reali
Le combinazioni aiutano a pianificare squadre, giurie, campioni di ricerca e gruppi di biglietti della lotteria. Uno scienziato che sceglie 4 siti di prova tra 20 può sapere quanti campioni sono possibili prima di raccogliere i dati. Il metodo vale solo se ogni oggetto può essere scelto e l’ordine non ha significato.
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