Kombinationen zählen — Mathematik, 14–17 Jahre
Wie man mögliche Auswahlen zählt, ohne jede einzelne aufzuschreiben. Mathematik, 14–17 Jahre.
Auswahlen, keine Anordnungen
Eine Kombination ist eine Auswahl, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt. Ana, Ben und Chi auszuwählen ergibt dieselbe Gruppe wie Chi, Ana und Ben. Die Schreibweise C(n,r) zählt, wie viele Gruppen aus r Objekten man aus n Objekten auswählen kann.
Warum systematisch zählen?
Wenn es viele Möglichkeiten gibt, führt eine Liste leicht zu Auslassungen und Doppelzählungen. Ein Trainer, der 3 Spieler aus 10 auswählt, braucht die Zahl verschiedener Teams, nicht die Reihenfolge der Namen. Kombinationen lösen dieses Problem und bilden auch eine Grundlage für Wahrscheinlichkeitsrechnungen.
Ein Komitee auswählen
Wie viele Komitees aus 3 Personen lassen sich aus 5 Personen bilden? Zuerst zählen wir geordnete Auswahlen: 5 × 4 × 3 = 60. Jedes Komitee erscheint 3 × 2 × 1 = 6-mal, einmal je Reihenfolge. Wir teilen: 60 ÷ 6 = 10. Also gilt C(5,3) = 5!/(3!2!) = 10.
Die Reihenfolge nicht doppelt zählen
Ein häufiger Fehler ist, ABC, ACB und BAC als verschiedene Komitees zu zählen. Das ist verständlich, weil die Schreibreihenfolge verschieden ist, aber das Komitee bleibt gleich. Zuerst muss man klären, was laut Aufgabe verschieden ist; doppelte Anordnungen entfernt man nur, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Echte Auswahlmöglichkeiten planen
Kombinationen helfen beim Planen von Teams, Gremien, Forschungsstichproben und Lottoscheinen. Eine Wissenschaftlerin, die 4 Testorte aus 20 auswählt, kann die Zahl möglicher Stichproben vor der Datensammlung bestimmen. Die Methode gilt nur, wenn jedes Objekt gewählt werden kann und die Reihenfolge keine Bedeutung hat.
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