A lei dos cossenos — Matemática, 14–17 anos
Como encontrar um lado de um triângulo quando este não é rectângulo. Matemática, 14–17 anos.
Uma relação para triângulos gerais
A lei dos cossenos relaciona dois lados, o ângulo entre eles e o lado oposto. Diz que c² = a² + b² − 2ab cos C. Quando C é 90°, cos C é 0 e a lei transforma-se no teorema de Pitágoras; por isso estende essa ideia a triângulos inclinados.
Porque Pitágoras não chegava
O teorema de Pitágoras só funciona quando dois lados formam um ângulo recto. Topógrafos, navegadores e astrónomos encontram muitas vezes triângulos com outros ângulos e precisam do terceiro lado. A lei dos cossenos fornece precisamente essa ligação.
Dois caminhos e o ângulo entre eles
De um ponto partem dois caminhos com 7 km e 10 km, formando um ângulo de 60°. A distância directa c obedece a c² = 7² + 10² − 2×7×10×cos 60°. Como cos 60° = 0,5, c² = 49 + 100 − 70 = 79. Logo, c = √79 ≈ 8,89 km.
O ângulo tem de corresponder ao lado
Um erro comum é usar um ângulo que não está em frente do lado chamado c ou trocar o sinal menos por mais. O desenho pode fazer esta correspondência parecer óbvia, mas nem sempre é. Em c² = a² + b² − 2ab cos C, C fica entre a e b e c está em frente de C.
Mapear sem uma linha recta
Uma equipa de salvamento pode conhecer duas rotas a partir do mesmo ponto e o ângulo entre elas, calculando depois a distância entre os extremos. A mesma geometria ajuda a medir terrenos e a localizar objectos através de direcções observadas. É útil porque as situações reais raramente formam triângulos rectângulos perfeitos.
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