La ley de los cosenos — Matemáticas, 14–17 años

Cómo encontrar un lado de un triángulo cuando no es rectángulo. Matemáticas, 14–17 años.

Una relación para triángulos generales

La ley de los cosenos relaciona dos lados, el ángulo entre ellos y el lado opuesto. Dice que c² = a² + b² − 2ab cos C. Cuando C es 90°, cos C vale 0 y la ley se convierte en el teorema de Pitágoras; así amplía esa idea a triángulos inclinados.

Por qué Pitágoras no bastaba

El teorema de Pitágoras solo funciona cuando dos lados forman un ángulo recto. Topógrafos, navegantes y astrónomos encuentran a menudo triángulos con otros ángulos y necesitan calcular el tercer lado. La ley de los cosenos proporciona exactamente esa conexión.

Dos caminos y su ángulo

Desde un punto salen dos caminos de 7 km y 10 km, formando un ángulo de 60°. La distancia directa c cumple c² = 7² + 10² − 2×7×10×cos 60°. Como cos 60° = 0,5, c² = 49 + 100 − 70 = 79. Por tanto, c = √79 ≈ 8,89 km.

El ángulo debe corresponder al lado

Un error frecuente es usar un ángulo que no está frente al lado llamado c, o cambiar el signo menos por más. El dibujo puede hacer que la correspondencia parezca evidente, pero no siempre lo es. En c² = a² + b² − 2ab cos C, C está entre a y b y c queda enfrente.

Cartografiar sin una línea recta

Un equipo de rescate puede conocer dos rutas desde un mismo punto y el ángulo entre ellas, y calcular la distancia entre sus extremos. La misma geometría ayuda a medir terrenos y localizar objetos a partir de direcciones observadas. Resulta útil porque las situaciones reales rara vez forman triángulos rectángulos perfectos.

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