La loi des cosinus — Mathématiques, 14–17 ans

Comment trouver un côté d’un triangle qui n’est pas rectangle. Mathématiques, 14–17 ans.

Une relation pour les triangles quelconques

La loi des cosinus relie deux côtés, l’angle compris entre eux et le côté opposé. Elle s’écrit c² = a² + b² − 2ab cos C. Quand C vaut 90°, cos C vaut 0 et la loi devient le théorème de Pythagore : elle étend donc cette idée aux triangles inclinés.

Pourquoi Pythagore ne suffisait pas

Le théorème de Pythagore ne fonctionne que lorsque deux côtés forment un angle droit. Les géomètres, navigateurs et astronomes rencontrent souvent d’autres angles et doivent calculer le troisième côté. La loi des cosinus fournit précisément ce lien.

Deux chemins et leur angle

Deux chemins partent d’un point, mesurant 7 km et 10 km, avec un angle de 60° entre eux. La distance directe c vérifie c² = 7² + 10² − 2×7×10×cos 60°. Comme cos 60° = 0,5, c² = 49 + 100 − 70 = 79. Donc c = √79 ≈ 8,89 km.

L’angle doit correspondre au côté

Une erreur fréquente consiste à utiliser un angle qui n’est pas opposé au côté appelé c, ou à remplacer le signe moins par un plus. Le dessin peut rendre l’association trompeuse. Dans c² = a² + b² − 2ab cos C, C est entre a et b et c lui est opposé.

Cartographier sans ligne droite

Une équipe de secours peut connaître deux itinéraires partant du même point et l’angle entre eux, puis estimer la distance entre leurs extrémités. La même géométrie sert à mesurer des terrains et à localiser des objets grâce à des directions. Elle est utile car les situations réelles forment rarement des triangles rectangles parfaits.

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