Der Kosinussatz — Mathematik, 14–17 Jahre
Wie man eine Seite in einem nicht rechtwinkligen Dreieck findet. Mathematik, 14–17 Jahre.
Ein Zusammenhang für beliebige Dreiecke
Der Kosinussatz verbindet zwei Seiten, den eingeschlossenen Winkel und die gegenüberliegende Seite. Er lautet c² = a² + b² − 2ab cos C. Bei C = 90° ist cos C = 0, und daraus wird der Satz des Pythagoras; so gilt die Idee auch für schiefe Dreiecke.
Warum Pythagoras nicht genügte
Der Satz des Pythagoras gilt nur, wenn zwei Seiten einen rechten Winkel bilden. Vermesser, Navigatoren und Astronomen arbeiten oft mit anderen Winkeln und müssen die dritte Seite berechnen. Der Kosinussatz liefert genau diese Verbindung.
Zwei Wege und ihr Winkel
Von einem Punkt gehen zwei Wege mit 7 km und 10 km ab; der Winkel dazwischen beträgt 60°. Für die direkte Entfernung c gilt c² = 7² + 10² − 2×7×10×cos 60°. Weil cos 60° = 0,5, ist c² = 49 + 100 − 70 = 79. Also c = √79 ≈ 8,89 km.
Winkel und Seite müssen zusammenpassen
Ein häufiger Fehler ist, einen Winkel zu verwenden, der nicht der Seite c gegenüberliegt, oder das Minus durch ein Plus zu ersetzen. Die Zeichnung kann die Zuordnung scheinbar klar machen, obwohl sie es nicht ist. In c² = a² + b² − 2ab cos C liegt C zwischen a und b, und c liegt ihm gegenüber.
Kartieren ohne gerade Verbindung
Ein Rettungsteam kann zwei Wege von einem gemeinsamen Punkt und den Winkel dazwischen kennen und daraus die Entfernung zwischen den Endpunkten schätzen. Dieselbe Geometrie hilft beim Vermessen von Gelände und beim Orten von Objekten aus Richtungen. Das ist nützlich, weil echte Anordnungen selten perfekte rechtwinklige Dreiecke bilden.
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