Números complexos — Matemática, 14–17 anos

Números que alargam a reta numérica para que equações como x² = −1 tenham uma solução com significado.

Uma nova direção para os números

O símbolo i é definido por i² = −1. Um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária, como 3 + 2i. Podes somar e multiplicar estes números usando a álgebra habitual, lembrando que cada i² pode ser substituído por −1.

A equação sem resposta real

Os números reais não resolvem x² = −1, porque o quadrado de qualquer número real é zero ou positivo. Os matemáticos quiseram que a álgebra continuasse a funcionar em vez de parar neste obstáculo. Introduzir i cria um sistema numérico maior, onde equações podem ter soluções impossíveis na reta real.

Multiplicar dois números complexos

Calcula (2 + 3i)(1 − 4i). Primeiro desenvolve: 2 − 8i + 3i − 12i². Junta os termos semelhantes: 2 − 5i − 12i². Como i² = −1, −12i² = 12; portanto, a resposta é 14 − 5i. O método é o desenvolvimento habitual, mais a regra especial de i².

i não é uma variável

Um erro tentador é tratar i como uma letra desconhecida e deixar i² sem alteração, ou dizer simplesmente que i é “a raiz quadrada de −1” sem usar a sua regra com cuidado. A notação parece a de uma variável comum. Mas i tem um significado fixo: i² = −1, por isso as suas potências formam um ciclo e devem ser simplificadas.

Sinais e rotações

Os números complexos permitem descrever rotações e ondas repetitivas de forma compacta. Os engenheiros usam-nos em corrente elétrica alternada, sinais de rádio e processamento de som, onde a intensidade e a fase contam em conjunto. Isto não significa que a eletricidade seja imaginária; o sistema numérico regista duas quantidades ligadas.

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