Numeri complessi — Matematica, 14–17
Numeri che estendono la retta numerica, così equazioni come x² = −1 possono avere una soluzione significativa.
Una nuova direzione per i numeri
Il simbolo i è definito da i² = −1. Un numero complesso ha una parte reale e una parte immaginaria, per esempio 3 + 2i. Si possono sommare e moltiplicare questi numeri con l’algebra usuale, ricordando che ogni i² può essere sostituito con −1.
L’equazione senza soluzione reale
I numeri reali non risolvono x² = −1, perché il quadrato di ogni numero reale è nullo o positivo. I matematici volevano che l’algebra continuasse a funzionare invece di fermarsi davanti a questo ostacolo. Introdurre i crea un sistema numerico più ampio, in cui alcune equazioni hanno soluzioni impossibili sulla retta reale.
Moltiplicare due numeri complessi
Calcola (2 + 3i)(1 − 4i). Prima sviluppa: 2 − 8i + 3i − 12i². Raggruppa i termini simili: 2 − 5i − 12i². Poiché i² = −1, −12i² = 12, quindi il risultato è 14 − 5i. Il metodo è lo sviluppo usuale, con la regola speciale di i².
i non è una variabile
Un errore tentatore è trattare i come una lettera incognita e lasciare i² invariato, oppure dire semplicemente che i è “la radice quadrata di −1” senza applicare con attenzione la sua regola. La notazione sembra quella di una variabile comune. Invece i ha un significato fisso: i² = −1, quindi le sue potenze si ripetono in ciclo e vanno semplificate.
Segnali e rotazioni
I numeri complessi descrivono in modo compatto rotazioni e onde ripetitive. Gli ingegneri li usano per la corrente alternata, i segnali radio e l’elaborazione del suono, dove contano insieme ampiezza e fase. Non significa che l’elettricità sia immaginaria: il sistema registra due quantità collegate.
Continua a esplorare
Altre lingue
Caricamento di MyLeoNes™…