Números complejos — Matemáticas, 14–17 años
Números que amplían la recta numérica para que ecuaciones como x² = −1 tengan una solución con sentido.
Una nueva dirección para los números
El símbolo i se define por i² = −1. Un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, como 3 + 2i. Puedes sumar y multiplicar estos números con el álgebra habitual, recordando que cada i² puede sustituirse por −1.
La ecuación sin respuesta real
Los números reales no resuelven x² = −1, porque el cuadrado de cualquier número real es cero o positivo. Los matemáticos querían que el álgebra siguiera funcionando en vez de detenerse ante ese obstáculo. Introducir i crea un sistema numérico mayor, donde ecuaciones pueden tener soluciones imposibles en la recta real.
Multiplicar dos números complejos
Calcula (2 + 3i)(1 − 4i). Primero desarrolla: 2 − 8i + 3i − 12i². Agrupa los términos semejantes: 2 − 5i − 12i². Como i² = −1, −12i² = 12, así que el resultado es 14 − 5i. El método es el desarrollo habitual, más la regla especial de i².
i no es una variable
Un error tentador es tratar i como una letra desconocida y dejar i² sin cambiar, o decir simplemente que i es «la raíz cuadrada de −1» sin aplicar bien su regla. La notación parece la de una variable corriente. Pero i tiene un significado fijo: i² = −1, por lo que sus potencias se repiten en ciclo y deben simplificarse.
Señales y giros
Los números complejos describen de forma compacta giros y ondas repetitivas. Los ingenieros los usan para la corriente eléctrica alterna, las señales de radio y el tratamiento del sonido, donde importan a la vez el tamaño y la fase. No significa que la electricidad sea imaginaria: el sistema registra dos cantidades relacionadas.
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