Komplexe Zahlen — Mathematik, 14–17 Jahre

Zahlen, die die Zahlengerade erweitern, damit Gleichungen wie x² = −1 eine sinnvolle Lösung haben können.

Eine neue Richtung für Zahlen

Das Symbol i ist durch i² = −1 definiert. Eine komplexe Zahl hat einen Realteil und einen Imaginärteil, etwa 3 + 2i. Man kann diese Zahlen mit der üblichen Algebra addieren und multiplizieren, wobei jedes i² durch −1 ersetzt wird.

Die Gleichung ohne reelle Lösung

Die reellen Zahlen lösen x² = −1 nicht, weil das Quadrat jeder reellen Zahl null oder positiv ist. Mathematiker wollten, dass die Algebra an diesem Hindernis nicht einfach endet. Mit i entsteht ein größeres Zahlensystem, in dem auch solche Gleichungen Lösungen besitzen.

Zwei komplexe Zahlen multiplizieren

Berechne (2 + 3i)(1 − 4i). Zuerst ausmultiplizieren: 2 − 8i + 3i − 12i². Gleichartige Terme zusammenfassen: 2 − 5i − 12i². Weil i² = −1 gilt, ist −12i² = 12; das Ergebnis lautet 14 − 5i. Die Methode ist normales Ausmultiplizieren plus die Sonderregel für i².

i ist keine Variable

Ein naheliegender Fehler ist, i wie einen unbekannten Buchstaben zu behandeln und i² stehen zu lassen, oder i nur als „Wurzel aus −1“ zu sehen, ohne die Regel sorgfältig anzuwenden. Die Schreibweise sieht wie eine gewöhnliche Variable aus. Doch i hat eine feste Bedeutung: i² = −1, daher wiederholen sich seine Potenzen zyklisch.

Signale und Drehungen

Komplexe Zahlen beschreiben Drehungen und wiederkehrende Wellen besonders kompakt. Ingenieure nutzen sie für Wechselstrom, Funksignale und Tonverarbeitung, bei denen Stärke und Phase gemeinsam wichtig sind. Das bedeutet nicht, dass Elektrizität imaginär ist; das Zahlensystem erfasst zwei verbundene Größen.

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