Nombres complexes — Mathématiques, 14–17 ans
Des nombres qui étendent la droite numérique afin que des équations comme x² = −1 aient une solution.
Une nouvelle direction pour les nombres
Le symbole i est défini par i² = −1. Un nombre complexe possède une partie réelle et une partie imaginaire, comme 3 + 2i. On peut additionner et multiplier ces nombres avec l’algèbre habituelle, en remplaçant chaque i² par −1.
L’équation sans solution réelle
Les nombres réels ne permettent pas de résoudre x² = −1, car le carré d’un nombre réel est nul ou positif. Les mathématiciens voulaient que l’algèbre continue à fonctionner au lieu de s’arrêter devant cet obstacle. Introduire i crée un système plus vaste, où certaines équations ont des solutions impossibles sur la droite réelle.
Multiplier deux nombres complexes
Calcule (2 + 3i)(1 − 4i). Développe d’abord : 2 − 8i + 3i − 12i². Regroupe les termes semblables : 2 − 5i − 12i². Comme i² = −1, −12i² = 12 ; le résultat est donc 14 − 5i. La méthode est le développement habituel, avec la règle spéciale i² = −1.
i n’est pas une variable
Une erreur tentante consiste à traiter i comme une lettre inconnue et à laisser i² tel quel, ou à dire simplement que i est « la racine carrée de −1 » sans appliquer sa règle avec soin. La notation ressemble à celle d’une variable ordinaire. Pourtant i a un sens fixe : i² = −1, et ses puissances doivent être simplifiées selon un cycle.
Signaux et rotations
Les nombres complexes décrivent de façon compacte les rotations et les ondes répétitives. Les ingénieurs les utilisent pour le courant alternatif, les signaux radio et le traitement du son, où l’amplitude et la phase comptent ensemble. Cela ne signifie pas que l’électricité soit imaginaire : le système note deux grandeurs liées.
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