Matematica classe 7: Risolvere un problema: dalla tabella all'equazione
Matematica, classe 7 (Portogallo): Le stesse tre fasi, ora con un'incognita a cui puoi dare una lettera: confronta una tabella con un'equazione e verifica sempre la risposta sulla situazione.
Una situazione con un'incognita
Un club di nuoto ha due piani. Piano A: 15 € una tantum, più 4 € a ingresso. Piano B: 7 € a ingresso, nient'altro. Conosci le fasi: interpretare (che cosa si sa? che cosa si chiede?), scegliere ed eseguire una strategia, valutare. Ora l'incognita riceve una lettera: v è il numero di ingressi, quindi A costa 15 + 4 × v e B costa 7 × v. Da questa situazione puoi formulare tu i problemi: quando costano lo stesso? Con 60 €, quanti ingressi dà ciascun piano?
Due strategie per «quando costano lo stesso?»
Strategia 1, una tabella (un foglio di calcolo la fa per te): per v = 1…6, il piano A dà 19, 23, 27, 31, 35, 39 e il piano B dà 7, 14, 21, 28, 35, 42. Con v = 5 costano entrambi 35 €, e la tabella mostra anche chi vince prima e dopo. Strategia 2, un'equazione: 15 + 4v = 7v, quindi 15 = 3v e v = 5. Entrambe sono corrette e diverse: la tabella mostra, l'equazione accorcia. Con 150 € di iscrizione, la tabella richiederebbe 50 righe e l'equazione, 150 = 3v, dà subito v = 50. Qui l'equazione è più efficace.
Un caso: 60 € da spendere
Quale piano dà più ingressi con 60 €? Interpretare: v deve essere un numero intero di ingressi. Piano A: 15 + 4v = 60, quindi 4v = 45 e v = 11,25. Piano B: 7v = 60, quindi v = 60 ÷ 7 = 8,57… Valutare: nessuno fa 0,25 di un ingresso, perciò A permette 11 ingressi (15 + 44 = 59 €) e B ne permette 8 (7 × 8 = 56 €). Controlla il successivo: il 12º ingresso in A costa 63 € e il 9º in B pure, entrambi superano 60 €. Il piano A dà 3 ingressi in più.
Rispondere all'equazione, non al problema
Rui ha risolto 7v = 60, ha ottenuto 8,57… e ha risposto «circa 9 ingressi», arrotondando all'intero più vicino. Sembra ragionevole, ma 9 ingressi costano 9 × 7 = 63 € e lui ha solo 60 €. Il numero che esce da un'equazione risponde all'equazione; la fase di valutazione risponde al problema. Qui gli ingressi sono interi e il denaro è limitato, quindi si arrotonda per difetto: 8 ingressi. Per evitare la trappola, chiediti sempre: questo valore ha senso nella situazione e rispetta ciò che dice il problema?
Dove si vede: un costo fisso più un costo per unità
Affittare una sala per 90 € più 6 € per invitato, noleggiare una bici con una quota iniziale, un piano telefonico con canone mensile: tutti hanno questa forma, una parte fissa più una parte che cresce. Con 150 € per la sala: 90 + 6i = 150, quindi 6i = 60 e i = 10 invitati. In un foglio di calcolo scrivi =90+6*A2 e trascini verso il basso, poi confronti i piani riga per riga. La tecnologia fa i conti; tu poni la domanda e valuti se la risposta è adatta.
Metti alla prova quello che hai imparato
Ana ha risolto «quando i due piani costano lo stesso?» con una tabella, Rui con un'equazione. Entrambi hanno trovato 5 ingressi. Quale frase è vera?
- a) Solo l'equazione è giusta; una tabella è solo tirare a indovinare
- b) Entrambe sono corrette e diverse: la tabella mostra di più, l'equazione è più breve con numeri grandi
- c) È la stessa strategia, perché entrambe danno la stessa risposta
- d) Solo la tabella è giusta, perché le equazioni usano lettere e le lettere non sono numeri
Risposta corretta: b) Entrambe sono corrette e diverse: la tabella mostra di più, l'equazione è più breve con numeri grandi — Giusto: stesso risultato corretto, due strade diverse. Con 150 € di iscrizione, l'equazione è molto più rapida di 50 righe.
Un noleggio di biciclette costa 10 € una tantum più 5 € all'ora. Ana ha 60 €. Per quante ore può noleggiare la bici?
- a) 12
- b) 14
- c) 10
- d) 50
Risposta corretta: c) 10 — Giusto: 60 − 10 = 50 € restano per le ore e 50 ÷ 5 = 10. Verifica: 10 + 5 × 10 = 60.
Risolvere 7v = 60 per il numero di ingressi dà v = 8,57… Gli ingressi sono interi e Rui ha solo 60 €. Qual è la risposta al problema?
- a) 8 ingressi
- b) 9 ingressi, arrotondando 8,57 all'intero più vicino
- c) 8,57 ingressi, esattamente ciò che dà l'equazione
- d) 9 ingressi, usando i 4 € che restano dopo 8 per completare il nono
Risposta corretta: a) 8 ingressi — Giusto: 8 × 7 = 56 € sta nei 60 €, mentre un nono ingresso porterebbe il totale a 63 €.
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