Mathematik Klasse 7: Ein Problem lösen: von der Tabelle zur Gleichung
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Dieselben drei Schritte, jetzt mit einer Unbekannten, die einen Buchstaben bekommt: Vergleiche Tabelle und Gleichung und prüfe die Antwort immer an der Situation.
Eine Situation mit einer Unbekannten
Ein Schwimmclub hat zwei Tarife. Tarif A: einmalig 15 € plus 4 € pro Besuch. Tarif B: 7 € pro Besuch, sonst nichts. Du kennst die Schritte: verstehen (was ist bekannt? was ist gefragt?), Strategie wählen und ausführen, prüfen. Jetzt bekommt die Unbekannte einen Buchstaben: v ist die Anzahl der Besuche, also kostet A 15 + 4 × v und B 7 × v. Aus dieser Situation kannst du selbst Probleme stellen: Wann kosten beide gleich viel? Wie viele Besuche ergibt jeder Tarif mit 60 €?
Zwei Strategien für „Wann kosten sie gleich viel?“
Strategie 1, eine Tabelle (eine Tabellenkalkulation erledigt das für dich): Für v = 1 bis 6 kostet Tarif A 19, 23, 27, 31, 35, 39 und Tarif B 7, 14, 21, 28, 35, 42. Bei v = 5 kosten beide 35 €, und die Tabelle zeigt auch, wer davor und danach gewinnt. Strategie 2, eine Gleichung: 15 + 4v = 7v, also 15 = 3v und v = 5. Beide sind richtig und verschieden: Die Tabelle zeigt, die Gleichung verkürzt. Bei 150 € Gebühr bräuchte die Tabelle 50 Zeilen, 150 = 3v liefert sofort v = 50. Hier ist die Gleichung wirksamer.
Ein Fall: 60 € zum Ausgeben
Welcher Tarif ergibt mit 60 € mehr Besuche? Verstehen: v muss eine ganze Zahl von Besuchen sein. Tarif A: 15 + 4v = 60, also 4v = 45 und v = 11,25. Tarif B: 7v = 60, also v = 60 ÷ 7 = 8,57… Prüfen: Niemand macht 0,25 Besuche, also erlaubt A 11 Besuche (15 + 44 = 59 €) und B 8 (7 × 8 = 56 €). Probe mit dem nächsten: Der 12. Besuch bei A kostet 63 €, der 9. bei B ebenfalls, beide sprengen die 60 €. Tarif A ergibt 3 Besuche mehr.
Die Gleichung beantworten, nicht das Problem
Rui löste 7v = 60, erhielt 8,57… und antwortete „etwa 9 Besuche“, auf die nächste ganze Zahl gerundet. Das wirkt vernünftig, doch 9 Besuche kosten 9 × 7 = 63 €, und er hat nur 60 €. Die Zahl, die aus einer Gleichung kommt, beantwortet die Gleichung; der Prüfschritt beantwortet das Problem. Hier sind Besuche ganzzahlig und das Geld begrenzt, also rundet man ab: 8 Besuche. Um der Falle zu entgehen, frag immer: Ist der Wert in der Situation sinnvoll und hält er, was die Aufgabe sagt?
Wo man es sieht: Fixkosten plus Kosten pro Einheit
Einen Saal für 90 € plus 6 € pro Gast mieten, ein Fahrrad mit Startgebühr leihen, einen Handytarif mit Monatsgebühr: Alles hat diese Form, ein fester Teil plus ein Teil, der wächst. Mit 150 € für den Saal: 90 + 6g = 150, also 6g = 60 und g = 10 Gäste. In einer Tabellenkalkulation tippst du =90+6*A2 und ziehst nach unten, dann vergleichst du die Tarife Zeile für Zeile. Die Technik rechnet; du stellst die Frage und prüfst, ob die Antwort passt.
Teste, was du gelernt hast
Ana löste „Wann kosten die beiden Tarife gleich viel?“ mit einer Tabelle, Rui mit einer Gleichung. Beide fanden 5 Besuche. Welcher Satz stimmt?
- a) Nur die Gleichung ist richtig; eine Tabelle ist bloßes Raten
- b) Beide sind richtig und verschieden: Die Tabelle zeigt mehr, die Gleichung ist bei großen Zahlen kürzer
- c) Es ist dieselbe Strategie, weil beide dieselbe Antwort liefern
- d) Nur die Tabelle ist richtig, weil Gleichungen Buchstaben nutzen und Buchstaben keine Zahlen sind
Richtige Antwort: b) Beide sind richtig und verschieden: Die Tabelle zeigt mehr, die Gleichung ist bei großen Zahlen kürzer — Richtig: dasselbe richtige Ergebnis, zwei verschiedene Wege. Bei 150 € Gebühr ist die Gleichung viel schneller als 50 Zeilen.
Ein Fahrradverleih verlangt einmalig 10 € plus 5 € pro Stunde. Ana hat 60 €. Wie viele Stunden kann sie das Fahrrad mieten?
- a) 12
- b) 14
- c) 10
- d) 50
Richtige Antwort: c) 10 — Richtig: 60 − 10 = 50 € bleiben für die Stunden, und 50 ÷ 5 = 10. Probe: 10 + 5 × 10 = 60.
7v = 60 nach der Zahl der Besuche aufzulösen ergibt v = 8,57… Besuche sind ganzzahlig, und Rui hat nur 60 €. Was ist die Antwort auf das Problem?
- a) 8 Besuche
- b) 9 Besuche, 8,57 auf die nächste ganze Zahl gerundet
- c) 8,57 Besuche, genau was die Gleichung ergibt
- d) 9 Besuche, mit den 4 €, die nach 8 übrig sind, für einen neunten
Richtige Antwort: a) 8 Besuche — Richtig: 8 × 7 = 56 € passt in 60 €, ein neunter Besuch brächte die Summe auf 63 €.
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