Matemáticas 7.º curso: Resolver un problema: de la tabla a la ecuación
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Las mismas tres etapas, ahora con una incógnita a la que puedes dar una letra: compara una tabla con una ecuación y contrasta siempre la respuesta con la situación.
Una situación con una incógnita
Un club de natación tiene dos planes. Plan A: 15 € de inscripción, una sola vez, más 4 € por entrada. Plan B: 7 € por entrada, sin nada más. Ya conoces las etapas: interpretar (¿qué se sabe? ¿qué se pide?), elegir y ejecutar una estrategia, evaluar. Ahora la incógnita recibe una letra: v es el número de entradas, así que el plan A cuesta 15 + 4 × v y el B cuesta 7 × v. A partir de esta situación puedes plantear tú los problemas: ¿cuándo cuestan lo mismo? Con 60 €, ¿cuántas entradas da cada plan?
Dos estrategias para «¿cuándo cuestan lo mismo?»
Estrategia 1, una tabla (una hoja de cálculo la hace por ti): para v = 1 a 6, el plan A da 19, 23, 27, 31, 35, 39 y el plan B da 7, 14, 21, 28, 35, 42. Con v = 5 ambos cuestan 35 €, y la tabla muestra además quién gana antes y después. Estrategia 2, una ecuación: 15 + 4v = 7v, luego 15 = 3v y v = 5. Ambas son correctas y distintas: la tabla muestra, la ecuación acorta. Con una inscripción de 150 €, la tabla necesitaría 50 filas y la ecuación, 150 = 3v, da enseguida v = 50. Aquí la ecuación es más eficaz.
Un caso: 60 € para gastar
¿Qué plan da más entradas con 60 €? Interpretar: v tiene que ser un número entero de entradas. Plan A: 15 + 4v = 60, luego 4v = 45 y v = 11,25. Plan B: 7v = 60, luego v = 60 ÷ 7 = 8,57… Evaluar: nadie hace 0,25 de una entrada, así que A permite 11 entradas (15 + 44 = 59 €) y B permite 8 (7 × 8 = 56 €). Comprueba la siguiente: la 12.ª entrada en A cuesta 63 € y la 9.ª en B también, las dos pasan de 60 €. El plan A da 3 entradas más.
Responder a la ecuación, no al problema
Rui resolvió 7v = 60, obtuvo 8,57… y respondió «unas 9 entradas», redondeando al entero más próximo. Parece razonable, pero 9 entradas cuestan 9 × 7 = 63 € y solo tiene 60 €. El número que sale de una ecuación responde a la ecuación; la etapa de evaluar responde al problema. Aquí las entradas son enteras y el dinero es limitado, así que se redondea por defecto: 8 entradas. Para evitar la trampa, pregunta siempre: ¿este valor tiene sentido en la situación y cumple lo que dice el problema?
Dónde se ve: un coste fijo más un coste por unidad
Alquilar una sala por 90 € más 6 € por invitado, alquilar una bici con una cuota inicial, un plan de móvil con cuota mensual: todos tienen esta forma, una parte fija más una parte que crece. Con 150 € para la sala: 90 + 6i = 150, luego 6i = 60 e i = 10 invitados. En una hoja de cálculo escribes =90+6*A2 y arrastras hacia abajo, y luego comparas los planes fila a fila. La tecnología hace las cuentas; tú planteas la pregunta y evalúas si la respuesta encaja.
Pon a prueba lo que has aprendido
Ana resolvió «¿cuándo cuestan lo mismo los dos planes?» con una tabla y Rui con una ecuación. Ambos hallaron 5 entradas. ¿Qué frase es verdadera?
- a) Solo la ecuación es correcta; una tabla es solo adivinar
- b) Ambas son correctas y distintas: la tabla muestra más, la ecuación es más corta con números grandes
- c) Es la misma estrategia, porque ambas dan la misma respuesta
- d) Solo la tabla es correcta, porque las ecuaciones usan letras y las letras no son números
Respuesta correcta: b) Ambas son correctas y distintas: la tabla muestra más, la ecuación es más corta con números grandes — Correcto: mismo resultado correcto, dos caminos distintos. Con una inscripción de 150 €, la ecuación es mucho más rápida que 50 filas.
Un alquiler de bicicletas cobra 10 € una vez más 5 € por hora. Ana tiene 60 €. ¿Durante cuántas horas puede alquilar la bici?
- a) 12
- b) 14
- c) 10
- d) 50
Respuesta correcta: c) 10 — Correcto: 60 − 10 = 50 € quedan para las horas y 50 ÷ 5 = 10. Comprobación: 10 + 5 × 10 = 60.
Resolver 7v = 60 para el número de entradas da v = 8,57… Las entradas son enteras y Rui solo tiene 60 €. ¿Cuál es la respuesta al problema?
- a) 8 entradas
- b) 9 entradas, redondeando 8,57 al entero más próximo
- c) 8,57 entradas, exactamente lo que da la ecuación
- d) 9 entradas, usando los 4 € que sobran tras 8 para completar la novena
Respuesta correcta: a) 8 entradas — Correcto: 8 × 7 = 56 € cabe en los 60 €, mientras que una novena entrada llevaría el total a 63 €.
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