Mathématiques 7e année : Résoudre un problème : du tableau à l'équation
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Les trois mêmes étapes, maintenant avec une inconnue qu'on peut nommer par une lettre : compare un tableau et une équation, et confronte toujours la réponse à la situation.
Une situation avec une inconnue
Un club de natation propose deux formules. Formule A : 15 € une seule fois, plus 4 € par entrée. Formule B : 7 € par entrée, rien d'autre. Tu connais les étapes : interpréter (que sait-on ? que demande-t-on ?), choisir et exécuter une stratégie, évaluer. Maintenant l'inconnue reçoit une lettre : v est le nombre d'entrées, donc A coûte 15 + 4 × v et B coûte 7 × v. À partir de cette situation, tu peux poser toi-même les problèmes : quand coûtent-elles pareil ? Avec 60 €, combien d'entrées donne chaque formule ?
Deux stratégies pour « quand coûtent-elles pareil ? »
Stratégie 1, un tableau (un tableur le fait pour toi) : pour v = 1 à 6, la formule A donne 19, 23, 27, 31, 35, 39 et la formule B donne 7, 14, 21, 28, 35, 42. Pour v = 5, les deux coûtent 35 €, et le tableau montre aussi qui gagne avant et après. Stratégie 2, une équation : 15 + 4v = 7v, donc 15 = 3v et v = 5. Les deux sont justes et différentes : le tableau montre, l'équation raccourcit. Avec 150 € d'inscription, le tableau demanderait 50 lignes, et l'équation, 150 = 3v, donne aussitôt v = 50. Ici l'équation est plus efficace.
Un cas : 60 € à dépenser
Quelle formule donne le plus d'entrées avec 60 € ? Interpréter : v doit être un nombre entier d'entrées. Formule A : 15 + 4v = 60, donc 4v = 45 et v = 11,25. Formule B : 7v = 60, donc v = 60 ÷ 7 = 8,57… Évaluer : personne ne fait 0,25 entrée, donc A permet 11 entrées (15 + 44 = 59 €) et B en permet 8 (7 × 8 = 56 €). Vérifie la suivante : la 12e entrée en A coûte 63 € et la 9e en B aussi, les deux dépassent 60 €. La formule A donne 3 entrées de plus.
Répondre à l'équation, pas au problème
Rui a résolu 7v = 60, a obtenu 8,57… et a répondu « environ 9 entrées », en arrondissant à l'entier le plus proche. Cela paraît raisonnable, mais 9 entrées coûtent 9 × 7 = 63 € et il n'a que 60 €. Le nombre qui sort d'une équation répond à l'équation ; l'étape d'évaluation répond au problème. Ici les entrées sont entières et l'argent limité, donc on arrondit par défaut : 8 entrées. Pour éviter le piège, demande-toi toujours : cette valeur a-t-elle du sens dans la situation et respecte-t-elle l'énoncé ?
Où on le voit : un coût fixe plus un coût par unité
Louer une salle pour 90 € plus 6 € par invité, louer un vélo avec des frais de départ, un forfait de téléphone avec abonnement mensuel : tout cela a cette forme, une partie fixe plus une partie qui grandit. Avec 150 € pour la salle : 90 + 6i = 150, donc 6i = 60 et i = 10 invités. Dans un tableur, tu écris =90+6*A2 et tu tires vers le bas, puis tu compares les formules ligne par ligne. La technologie fait les calculs ; toi, tu poses la question et tu évalues si la réponse convient.
Teste ce que tu as appris
Ana a résolu « quand les deux formules coûtent-elles pareil ? » avec un tableau, Rui avec une équation. Tous deux ont trouvé 5 entrées. Quelle phrase est vraie ?
- a) Seule l'équation est juste ; un tableau, c'est deviner
- b) Les deux sont justes et différentes : le tableau montre plus, l'équation est plus courte avec de grands nombres
- c) C'est la même stratégie, car les deux donnent la même réponse
- d) Seul le tableau est juste, car les équations utilisent des lettres et les lettres ne sont pas des nombres
Bonne réponse: b) Les deux sont justes et différentes : le tableau montre plus, l'équation est plus courte avec de grands nombres — Exact : même résultat juste, deux chemins différents. Avec 150 € d'inscription, l'équation est bien plus rapide que 50 lignes.
Une location de vélos facture 10 € une fois, plus 5 € par heure. Ana a 60 €. Pendant combien d'heures peut-elle louer le vélo ?
- a) 12
- b) 14
- c) 10
- d) 50
Bonne réponse: c) 10 — Exact : 60 − 10 = 50 € restent pour les heures et 50 ÷ 5 = 10. Vérification : 10 + 5 × 10 = 60.
Résoudre 7v = 60 pour le nombre d'entrées donne v = 8,57… Les entrées sont entières et Rui n'a que 60 €. Quelle est la réponse au problème ?
- a) 8 entrées
- b) 9 entrées, en arrondissant 8,57 à l'entier le plus proche
- c) 8,57 entrées, exactement ce que donne l'équation
- d) 9 entrées, en utilisant les 4 € restants après 8 pour compléter la 9e
Bonne réponse: a) 8 entrées — Exact : 8 × 7 = 56 € tient dans les 60 €, alors qu'une 9e entrée porterait le total à 63 €.
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