Matematica classe 7: Rappresentare, modellare e collegare le idee
Matematica, classe 7 (Portogallo): Una relazione raccontata a parole, con tabella, grafico e simboli; un modello costruito con misure; e un rettangolo che collega geometria, numeri e algebra.
Una relazione, quattro modi di mostrarla
Immagina che un foglio di carta pesi 5 g. A parole: «la massa è 5 volte il numero di fogli». In una tabella: 10 fogli → 50 g, 20 → 100 g, 30 → 150 g. In un grafico: i punti (10, 50), (20, 100) e (30, 150), su una retta che passa per l'origine. In simboli: m = 5 × n, con n il numero di fogli e m la massa in grammi. Leggere ciascuna, e passare dall'una all'altra, è il modo di capire la relazione. Dilla anche con parole tue: «ogni foglio aggiunge 5 g».
Perché i simboli, e perché tenere le altre
Ogni rappresentazione ha la sua forza e il suo limite. La tabella è esatta ma elenca solo alcuni casi. Il grafico mostra tutta la relazione a colpo d'occhio, ma i valori esatti sono difficili da leggere. Le parole spiegano che cosa significano le lettere, ma sono lunghe. I simboli m = 5 × n sono brevi, precisi e prevedono qualsiasi caso: n = 1 200 dà m = 6 000 g. Senza le parole non sapresti cosa siano m e n. Per questo si passa dall'una all'altra, e per questo un foglio di calcolo o un'app di grafici, che trasforma una formula in una tabella e in un grafico in un secondo, è così utile.
Un caso: un modello costruito con misure
Misure: 10 fogli pesano 50 g, 40 fogli pesano 200 g e 100 fogli pesano 500 g. La massa per foglio è sempre 50 ÷ 10 = 200 ÷ 40 = 500 ÷ 100 = 5 g, quindi il modello è m = 5 × n. Previsione: 300 fogli pesano 5 × 300 = 1 500 g, cioè 1,5 kg. Uso: una borsa che regge al massimo 2,5 kg contiene 2 500 ÷ 5 = 500 fogli. È un modello: i fogli veri differiscono un po', ma prevede abbastanza bene per pianificare, ed è a questo che serve un modello.
+10% da un lato e −10% dall'altro non è «restare uguale»
Un rettangolo diventa più lungo del 10% e più stretto del 10%. Ana dice che l'area resta uguale, perché «+10 e −10 si annullano». Rui spiega con un caso: 20 cm per 10 cm ha area 200 cm². Ora 22 cm per 9 cm: 22 × 9 = 198 cm², un po' meno. Con le lettere: 1,1 × b × 0,9 × h = 0,99 × b × h, quindi l'area scende dell'1%. I 10% riguardano grandezze diverse, quindi non si annullano. Caso, lettere e geometria concordano; ascolta un controargomento e provalo con un numero.
Dove si vede: ricette, costruzioni, professioni
Una ricetta che usa 250 g di farina per 4 persone ne usa 500 g per 8: la massa e il numero di persone sono direttamente proporzionali, lo stesso modello dei fogli. Chi adatta una ricetta, una dose o un piano lo usa. La matematica è anche dentro ciò che le persone costruiscono: un pavimento di piastrelle ripete un motivo, e un falegname calcola lunghezze e angoli prima di tagliare una trave. I professionisti la usano per prevedere e decidere, e puoi intervistarne uno per chiedere come.
Metti alla prova quello che hai imparato
Una tabella ha n: 10, 20, 30 e m: 50, 100, 150. Quale espressione rappresenta la stessa relazione?
- a) m = n + 40
- b) m = 5 × n
- c) m = 50 × n
- d) n = 5 × m
Risposta corretta: b) m = 5 × n — Giusto: 5 × 10 = 50, 5 × 20 = 100 e 5 × 30 = 150, quindi le tre coppie concordano.
Un foglio pesa 5 g, quindi m = 5 × n. Una borsa regge al massimo 4 kg. Qual è il massimo numero di fogli che può contenere?
- a) 20
- b) 80
- c) 800
- d) 20 000
Risposta corretta: c) 800 — Giusto: 4 kg = 4 000 g, e 5 × n = 4 000 dà n = 4 000 ÷ 5 = 800.
Un rettangolo di 20 cm per 10 cm diventa più lungo del 10% e più stretto del 10%. Qual è la nuova area?
- a) 200 cm²
- b) 220 cm²
- c) 180 cm²
- d) 198 cm²
Risposta corretta: d) 198 cm² — Giusto: 22 cm × 9 cm = 198 cm², cioè il 99% di 200 cm². Con le lettere, 1,1 × 0,9 = 0,99.
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