Matemáticas 7.º curso: Representar, modelar y conectar ideas
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Una relación contada con palabras, tabla, gráfica y símbolos; un modelo construido con mediciones; y un rectángulo que conecta geometría, números y álgebra.
Una relación, cuatro maneras de mostrarla
Imagina que una hoja de papel pesa 5 g. Con palabras: «la masa es 5 veces el número de hojas». En una tabla: 10 hojas → 50 g, 20 → 100 g, 30 → 150 g. En una gráfica: los puntos (10, 50), (20, 100) y (30, 150), sobre una recta que pasa por el origen. Con símbolos: m = 5 × n, con n el número de hojas y m la masa en gramos. Leer cada una, y pasar de una a otra, es como se comprende la relación. Dila también con tus palabras: «cada hoja añade 5 g».
Por qué hay símbolos, y por qué se conservan las otras
Cada representación tiene su fuerza y su límite. La tabla es exacta pero solo lista unos casos. La gráfica muestra toda la relación de un vistazo, pero los valores exactos cuesta leerlos. Las palabras explican qué significan las letras, pero son largas. Los símbolos m = 5 × n son cortos, precisos y predicen cualquier caso: n = 1 200 da m = 6 000 g. Sin las palabras no sabrías qué son m y n. Por eso se pasa de una a otra, y por eso una hoja de cálculo o una aplicación de gráficas, que convierte una fórmula en una tabla y una gráfica en un segundo, es tan útil.
Un caso: un modelo hecho con mediciones
Mediciones: 10 hojas pesan 50 g, 40 hojas pesan 200 g y 100 hojas pesan 500 g. La masa por hoja es siempre 50 ÷ 10 = 200 ÷ 40 = 500 ÷ 100 = 5 g, así que el modelo es m = 5 × n. Predicción: 300 hojas pesan 5 × 300 = 1 500 g, es decir, 1,5 kg. Uso: una bolsa que aguanta como máximo 2,5 kg lleva 2 500 ÷ 5 = 500 hojas. Es un modelo: las hojas reales difieren un poco, pero predice lo bastante bien para planificar, y para eso sirve un modelo.
+10 % en un lado y −10 % en el otro no es «quedar igual»
Un rectángulo se hace un 10 % más largo y un 10 % más estrecho. Ana dice que el área queda igual, porque «+10 y −10 se anulan». Rui explica con un caso: 20 cm por 10 cm tiene área 200 cm². Ahora 22 cm por 9 cm: 22 × 9 = 198 cm², un poco menos. Con letras: 1,1 × l × 0,9 × a = 0,99 × l × a, así que el área baja un 1 %. Los 10 % son de magnitudes distintas, por eso no se anulan. Caso, letras y geometría coinciden; escucha un contraargumento y compruébalo con un número.
Dónde se ve: recetas, construcción, profesiones
Una receta que usa 250 g de harina para 4 personas usa 500 g para 8: la masa y las personas son directamente proporcionales, el mismo modelo que las hojas. Quien ajusta una receta, una dosis o un plan lo usa. Las matemáticas también están dentro de lo que la gente construye: un suelo de baldosas repite un motivo, y un carpintero calcula longitudes y ángulos antes de cortar una viga. Los profesionales la usan para predecir y decidir, y puedes entrevistar a uno para preguntarle cómo.
Pon a prueba lo que has aprendido
Una tabla tiene n: 10, 20, 30 y m: 50, 100, 150. ¿Qué expresión representa la misma relación?
- a) m = n + 40
- b) m = 5 × n
- c) m = 50 × n
- d) n = 5 × m
Respuesta correcta: b) m = 5 × n — Correcto: 5 × 10 = 50, 5 × 20 = 100 y 5 × 30 = 150, así que los tres pares concuerdan.
Una hoja pesa 5 g, así que m = 5 × n. Una bolsa aguanta como máximo 4 kg. ¿Cuál es el mayor número de hojas que puede llevar?
- a) 20
- b) 80
- c) 800
- d) 20 000
Respuesta correcta: c) 800 — Correcto: 4 kg = 4 000 g, y 5 × n = 4 000 da n = 4 000 ÷ 5 = 800.
Un rectángulo de 20 cm por 10 cm se hace un 10 % más largo y un 10 % más estrecho. ¿Cuál es la nueva área?
- a) 200 cm²
- b) 220 cm²
- c) 180 cm²
- d) 198 cm²
Respuesta correcta: d) 198 cm² — Correcto: 22 cm × 9 cm = 198 cm², que son el 99 % de 200 cm². Con letras, 1,1 × 0,9 = 0,99.
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