Mathematik Klasse 7: Darstellen, modellieren und verknüpfen
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Eine Beziehung in Worten, Tabelle, Graph und Symbolen; ein Modell aus Messungen; und ein Rechteck, das Geometrie, Zahlen und Algebra verbindet.
Eine Beziehung, vier Arten, sie zu zeigen
Stell dir vor, ein Blatt Papier wiegt 5 g. In Worten: „Die Masse ist das 5-Fache der Blattzahl.“ In einer Tabelle: 10 Blatt → 50 g, 20 → 100 g, 30 → 150 g. In einem Graphen: die Punkte (10, 50), (20, 100) und (30, 150) auf einer Geraden durch den Ursprung. In Symbolen: m = 5 × n, mit n als Blattzahl und m als Masse in Gramm. Jede zu lesen und von einer zur anderen zu wechseln, ist der Weg, die Beziehung zu verstehen. Sag sie auch mit eigenen Worten: „Jedes Blatt fügt 5 g hinzu.“
Warum Symbole, und warum die anderen bleiben
Jede Darstellung hat ihre Stärke und ihre Grenze. Die Tabelle ist genau, listet aber nur wenige Fälle. Der Graph zeigt die ganze Beziehung auf einen Blick, doch genaue Werte lassen sich schwer ablesen. Worte erklären, was die Buchstaben bedeuten, sind aber lang. Die Symbole m = 5 × n sind kurz, präzise und sagen jeden Fall voraus: n = 1 200 ergibt m = 6 000 g. Ohne die Worte wüsstest du nicht, was m und n bedeuten. Darum wechselt man hin und her, und darum ist eine Tabellenkalkulation oder Graphen-App, die eine Formel in einer Sekunde in Tabelle und Graph verwandelt, so nützlich.
Ein Fall: ein Modell aus Messungen
Messungen: 10 Blatt wiegen 50 g, 40 Blatt wiegen 200 g und 100 Blatt wiegen 500 g. Die Masse pro Blatt ist immer 50 ÷ 10 = 200 ÷ 40 = 500 ÷ 100 = 5 g, also lautet das Modell m = 5 × n. Vorhersage: 300 Blatt wiegen 5 × 300 = 1 500 g, das sind 1,5 kg. Nutzen: Eine Tasche, die höchstens 2,5 kg trägt, fasst 2 500 ÷ 5 = 500 Blatt. Es ist ein Modell: Echte Blätter unterscheiden sich etwas, aber es sagt gut genug voraus, um zu planen, und dafür ist ein Modell da.
+10 % auf einer Seite und −10 % auf der anderen ist nicht „keine Änderung“
Ein Rechteck wird 10 % länger und 10 % schmaler. Ana sagt, der Flächeninhalt bleibe gleich, denn „+10 und −10 heben sich auf“. Rui erklärt es an einem Fall: 20 cm mal 10 cm hat den Flächeninhalt 200 cm². Jetzt 22 cm mal 9 cm: 22 × 9 = 198 cm², etwas weniger. Mit Buchstaben: 1,1 × l × 0,9 × b = 0,99 × l × b, der Flächeninhalt sinkt also um 1 %. Die 10 % beziehen sich auf verschiedene Größen, sie heben sich nicht auf. Fall, Buchstaben und Geometrie stimmen überein; hör dir ein Gegenargument an und teste es mit einer Zahl.
Wo man es sieht: Rezepte, Bauen, Berufe
Ein Rezept, das 250 g Mehl für 4 Personen braucht, braucht 500 g für 8: Masse und Personenzahl sind direkt proportional, dasselbe Modell wie bei den Blättern. Wer ein Rezept, eine Dosis oder einen Plan umrechnet, nutzt es. Mathematik steckt auch in dem, was Menschen bauen: Ein Fliesenboden wiederholt ein Motiv, und ein Zimmermann berechnet Längen und Winkel, bevor er einen Balken sägt. Fachleute nutzen sie, um vorherzusagen und zu entscheiden, und du kannst eine Person interviewen und fragen, wie.
Teste, was du gelernt hast
Eine Tabelle zeigt n: 10, 20, 30 und m: 50, 100, 150. Welcher Term stellt dieselbe Beziehung dar?
- a) m = n + 40
- b) m = 5 × n
- c) m = 50 × n
- d) n = 5 × m
Richtige Antwort: b) m = 5 × n — Richtig: 5 × 10 = 50, 5 × 20 = 100 und 5 × 30 = 150, alle drei Paare stimmen.
Ein Blatt wiegt 5 g, also m = 5 × n. Eine Tasche trägt höchstens 4 kg. Wie viele Blatt kann sie höchstens fassen?
- a) 20
- b) 80
- c) 800
- d) 20 000
Richtige Antwort: c) 800 — Richtig: 4 kg = 4 000 g, und 5 × n = 4 000 ergibt n = 4 000 ÷ 5 = 800.
Ein Rechteck von 20 cm mal 10 cm wird 10 % länger und 10 % schmaler. Wie groß ist der neue Flächeninhalt?
- a) 200 cm²
- b) 220 cm²
- c) 180 cm²
- d) 198 cm²
Richtige Antwort: d) 198 cm² — Richtig: 22 cm × 9 cm = 198 cm², das sind 99 % von 200 cm². Mit Buchstaben: 1,1 × 0,9 = 0,99.
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