Mathématiques 7e année : Représenter, modéliser et relier les idées
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Une relation dite en mots, tableau, graphique et symboles ; un modèle construit à partir de mesures ; et un rectangle qui relie géométrie, nombres et algèbre.
Une relation, quatre façons de la montrer
Imagine qu'une feuille de papier pèse 5 g. En mots : « la masse est 5 fois le nombre de feuilles ». Dans un tableau : 10 feuilles → 50 g, 20 → 100 g, 30 → 150 g. Dans un graphique : les points (10, 50), (20, 100) et (30, 150), sur une droite qui passe par l'origine. En symboles : m = 5 × n, avec n le nombre de feuilles et m la masse en grammes. Lire chacune, et passer de l'une à l'autre, c'est comprendre la relation. Dis-la aussi avec tes mots : « chaque feuille ajoute 5 g ».
Pourquoi des symboles, et pourquoi garder les autres
Chaque représentation a sa force et sa limite. Le tableau est exact mais ne liste que quelques cas. Le graphique montre toute la relation d'un coup d'œil, mais les valeurs exactes se lisent mal. Les mots expliquent ce que signifient les lettres, mais ils sont longs. Les symboles m = 5 × n sont courts, précis et prévoient n'importe quel cas : n = 1 200 donne m = 6 000 g. Sans les mots, tu ne saurais pas ce que sont m et n. C'est pourquoi on passe de l'une à l'autre, et pourquoi un tableur ou une appli de graphiques, qui transforme une formule en tableau et en graphique en une seconde, est si utile.
Un cas : un modèle construit à partir de mesures
Mesures : 10 feuilles pèsent 50 g, 40 feuilles pèsent 200 g et 100 feuilles pèsent 500 g. La masse par feuille est toujours 50 ÷ 10 = 200 ÷ 40 = 500 ÷ 100 = 5 g, donc le modèle est m = 5 × n. Prévision : 300 feuilles pèsent 5 × 300 = 1 500 g, soit 1,5 kg. Usage : un sac qui supporte au plus 2,5 kg contient 2 500 ÷ 5 = 500 feuilles. C'est un modèle : les vraies feuilles diffèrent un peu, mais il prévoit assez bien pour planifier, et c'est à cela que sert un modèle.
+10 % d'un côté et −10 % de l'autre, ce n'est pas « rien ne change »
Un rectangle devient 10 % plus long et 10 % plus étroit. Ana dit que l'aire reste la même, car « +10 et −10 s'annulent ». Rui explique avec un cas : 20 cm sur 10 cm a pour aire 200 cm². Maintenant 22 cm sur 9 cm : 22 × 9 = 198 cm², un peu moins. Avec des lettres : 1,1 × L × 0,9 × l = 0,99 × L × l, donc l'aire baisse de 1 %. Les 10 % portent sur des grandeurs différentes, ils ne s'annulent pas. Cas, lettres et géométrie concordent ; écoute un contre-argument et teste-le avec un nombre.
Où on le voit : recettes, construction, métiers
Une recette qui utilise 250 g de farine pour 4 personnes en utilise 500 g pour 8 : la masse et le nombre de personnes sont proportionnels, le même modèle que les feuilles. Quiconque adapte une recette, une dose ou un plan s'en sert. Les mathématiques sont aussi dans ce que les gens construisent : un carrelage répète un motif, et un charpentier calcule des longueurs et des angles avant de couper une poutre. Les professionnels s'en servent pour prévoir et décider, et tu peux en interviewer un pour demander comment.
Teste ce que tu as appris
Un tableau donne n : 10, 20, 30 et m : 50, 100, 150. Quelle expression représente la même relation ?
- a) m = n + 40
- b) m = 5 × n
- c) m = 50 × n
- d) n = 5 × m
Bonne réponse: b) m = 5 × n — Exact : 5 × 10 = 50, 5 × 20 = 100 et 5 × 30 = 150, donc les trois couples concordent.
Une feuille pèse 5 g, donc m = 5 × n. Un sac supporte au plus 4 kg. Quel est le plus grand nombre de feuilles qu'il peut contenir ?
- a) 20
- b) 80
- c) 800
- d) 20 000
Bonne réponse: c) 800 — Exact : 4 kg = 4 000 g, et 5 × n = 4 000 donne n = 4 000 ÷ 5 = 800.
Un rectangle de 20 cm sur 10 cm devient 10 % plus long et 10 % plus étroit. Quelle est sa nouvelle aire ?
- a) 200 cm²
- b) 220 cm²
- c) 180 cm²
- d) 198 cm²
Bonne réponse: d) 198 cm² — Exact : 22 cm × 9 cm = 198 cm², soit 99 % de 200 cm². Avec des lettres, 1,1 × 0,9 = 0,99.
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