Matematica classe 7: Probabilità di un evento con più risultati
Matematica, classe 7 (Portogallo): Dato un modello di probabilità, la probabilità di un evento con più risultati è la somma delle probabilità di quei risultati, anche quando non sono equiprobabili.
Sommare i risultati che formano l'evento
Un risultato è una sola cosa che può uscire: una faccia del dado, un colore della ruota. Spesso vuoi la probabilità di qualcosa che comprende più risultati: «uscire un multiplo di 3» comprende il 3 e il 6. La probabilità di quell'evento è la somma delle probabilità dei risultati che lo formano. Con un dado equilibrato: P(multiplo di 3) = P(3) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. (Qui «evento» è usato in modo informale.)
Un modello risponde a molte domande
Invece di fare un esperimento per ogni evento, basta un modello di probabilità: l'elenco di tutti i risultati con la probabilità di ciascuno, e tutte insieme devono dare 1 (o 100%). Con il modello in mano, qualsiasi evento si calcola sommando. Non serve l'equiprobabilità: i risultati del modello possono avere probabilità diverse, e la somma funziona lo stesso. È l'idea degli anni precedenti, ora usata con un modello che qualcuno ti dà.
Una ruota con cinque risultati
Una ruota ha cinque risultati, con questo modello: A = 6/20, B = 5/20, C = 4/20, D = 3/20, E = 2/20. Controlla: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 20, e 20/20 = 1. Qual è la probabilità di A, B o C? Passo 1: P(A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C). Passo 2: 6/20 + 5/20 + 4/20 = 15/20. Passo 3: 15/20 = 3/4 = 75%. E di D o E? 3/20 + 2/20 = 5/20 = 1/4 = 25%. Controlla: 75% + 25% = 100%, perché insieme sono tutti i risultati.
Due risultati su cinque non sono il 40%
Sulla stessa ruota, qual è la probabilità di A o B? Molti contano i risultati: «sono 2 su 5, quindi 2/5 = 40%». Ma questo funziona solo se tutti i risultati sono equiprobabili, e qui non lo sono: A ha il 30% e B il 25%. La risposta giusta è P(A) + P(B) = 6/20 + 5/20 = 11/20 = 55%. Con un dado equilibrato contare e sommare danno lo stesso, perché ogni faccia ha 1/6, ma sommare è il metodo che funziona sempre.
Previsioni e lotterie
Le previsioni del tempo usano modelli così. Se il modello dice sole 50%, nuvole 30%, pioggia 20%, la probabilità che non piova è quella di sole o nuvole: 50% + 30% = 80%. In una lotteria con 100 biglietti in cui 5 vincono un libro, 10 una penna e 15 un adesivo, la probabilità di vincere un premio qualsiasi è 5% + 10% + 15% = 30%. Ogni volta che ti chiedono «qual è la probabilità di questo o quello?», somma le probabilità dei risultati.
Metti alla prova quello che hai imparato
Con un dado equilibrato, «uscire un multiplo di 3» comprende i risultati 3 e 6. Qual è la sua probabilità?
- a) 1/6
- b) 1/3, perché 1/6 + 1/6 = 2/6
- c) 1/36
- d) 9/6
Risposta corretta: b) 1/3, perché 1/6 + 1/6 = 2/6 — Giusto: P(multiplo di 3) = P(3) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. La probabilità dell'evento è la somma delle probabilità dei suoi risultati.
Una ruota ha il modello A = 6/20, B = 5/20, C = 4/20, D = 3/20, E = 2/20. Qual è la probabilità che esca A, B o C?
- a) 3/5 = 60%, tre risultati su cinque
- b) Circa 1,5%, moltiplicando 6/20 × 5/20 × 4/20
- c) 3/4 = 75%
- d) 1/4 = 25%, la media delle tre
Risposta corretta: c) 3/4 = 75% — P(A) + P(B) + P(C) = 6/20 + 5/20 + 4/20 = 15/20 = 3/4 = 75%. Sommare le probabilità dei risultati funziona sempre.
Sulla stessa ruota (A = 30%, B = 25%, C = 20%, D = 15%, E = 10%), qual è la probabilità che esca A o B?
- a) 55%, perché 30% + 25%
- b) 40%, due risultati su cinque
- c) 30%, il più probabile dei due
- d) 27,5%, la media di 30% e 25%
Risposta corretta: a) 55%, perché 30% + 25% — Giusto: P(A) + P(B) = 30% + 25% = 55% (11/20). I risultati non sono equiprobabili, quindi si sommano le probabilità.
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