Mathématiques 7e année : Probabilité d'un événement à plusieurs issues
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Étant donné un modèle de probabilités, la probabilité d'un événement à plusieurs issues est la somme des probabilités de ces issues, même quand elles ne sont pas équiprobables.
Additionner les issues qui forment l'événement
Une issue est une seule chose qui peut sortir : une face du dé, une couleur de la roue. Souvent tu veux la probabilité de quelque chose qui regroupe plusieurs issues : « obtenir un multiple de 3 » regroupe le 3 et le 6. La probabilité de cet événement est la somme des probabilités des issues qui le forment. Avec un dé équilibré : P(multiple de 3) = P(3) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. (Ici « événement » est employé de façon informelle.)
Un modèle répond à beaucoup de questions
Au lieu de faire une expérience pour chaque événement, un seul modèle de probabilités suffit : la liste de toutes les issues avec la probabilité de chacune, et toutes ensemble doivent faire 1 (ou 100 %). Avec le modèle en main, tout événement se calcule en additionnant. Pas besoin d'équiprobabilité : les issues du modèle peuvent avoir des probabilités différentes, et la somme fonctionne toujours. C'est l'idée des années précédentes, employée maintenant avec un modèle qu'on te donne.
Une roue à cinq issues
Une roue a cinq issues, avec ce modèle : A = 6/20, B = 5/20, C = 4/20, D = 3/20, E = 2/20. Vérifie : 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 20, et 20/20 = 1. Quelle est la probabilité d'obtenir A, B ou C ? Étape 1 : P(A ou B ou C) = P(A) + P(B) + P(C). Étape 2 : 6/20 + 5/20 + 4/20 = 15/20. Étape 3 : 15/20 = 3/4 = 75 %. Et D ou E ? 3/20 + 2/20 = 5/20 = 1/4 = 25 %. Vérifie : 75 % + 25 % = 100 %, car ensemble ce sont toutes les issues.
Deux issues sur cinq, ce n'est pas 40 %
Sur la même roue, quelle est la probabilité de A ou B ? Beaucoup comptent les issues : « 2 sur 5, donc 2/5 = 40 % ». Mais cela ne marche que si toutes les issues sont équiprobables, et ici elles ne le sont pas : A a 30 % et B a 25 %. La bonne réponse est P(A) + P(B) = 6/20 + 5/20 = 11/20 = 55 %. Avec un dé équilibré, compter et additionner donnent la même chose, car chaque face a 1/6, mais additionner est la méthode qui marche toujours.
Prévisions et tombolas
Les prévisions météo utilisent des modèles comme celui-ci. Si le modèle dit soleil 50 %, nuages 30 %, pluie 20 %, la probabilité qu'il ne pleuve pas est celle de soleil ou nuages : 50 % + 30 % = 80 %. Dans une tombola de 100 billets où 5 gagnent un livre, 10 un stylo et 15 un autocollant, la probabilité de gagner un lot est 5 % + 10 % + 15 % = 30 %. Chaque fois qu'on te demande « quelle est la probabilité de ceci ou de cela ? », additionne les probabilités des issues.
Teste ce que tu as appris
Avec un dé équilibré, « obtenir un multiple de 3 » regroupe les issues 3 et 6. Quelle est sa probabilité ?
- a) 1/6
- b) 1/3, car 1/6 + 1/6 = 2/6
- c) 1/36
- d) 9/6
Bonne réponse: b) 1/3, car 1/6 + 1/6 = 2/6 — Exact : P(multiple de 3) = P(3) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. La probabilité de l'événement est la somme des probabilités de ses issues.
Une roue a le modèle A = 6/20, B = 5/20, C = 4/20, D = 3/20, E = 2/20. Quelle est la probabilité d'obtenir A, B ou C ?
- a) 3/5 = 60 %, trois issues sur cinq
- b) Environ 1,5 %, en multipliant 6/20 × 5/20 × 4/20
- c) 3/4 = 75 %
- d) 1/4 = 25 %, la moyenne des trois
Bonne réponse: c) 3/4 = 75 % — P(A) + P(B) + P(C) = 6/20 + 5/20 + 4/20 = 15/20 = 3/4 = 75 %. Additionner les probabilités des issues marche toujours.
Sur la même roue (A = 30 %, B = 25 %, C = 20 %, D = 15 %, E = 10 %), quelle est la probabilité d'obtenir A ou B ?
- a) 55 %, car 30 % + 25 %
- b) 40 %, deux issues sur cinq
- c) 30 %, la plus probable des deux
- d) 27,5 %, la moyenne de 30 % et 25 %
Bonne réponse: a) 55 %, car 30 % + 25 % — Exact : P(A) + P(B) = 30 % + 25 % = 55 % (11/20). Les issues ne sont pas équiprobables, donc on additionne leurs probabilités.
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