Matemáticas 7.º curso: Probabilidad de un suceso con varios resultados
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Dado un modelo de probabilidades, la probabilidad de un suceso con varios resultados es la suma de las probabilidades de esos resultados, incluso cuando no son igualmente posibles.
Sumar los resultados que forman el suceso
Un resultado es una sola cosa que puede salir: una cara del dado, un color de la ruleta. A menudo quieres la probabilidad de algo que abarca varios resultados: «salir múltiplo de 3» abarca el 3 y el 6. La probabilidad de ese suceso es la suma de las probabilidades de los resultados que lo forman. Con un dado equilibrado: P(múltiplo de 3) = P(3) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. (Aquí «suceso» se usa de manera informal.)
Un modelo responde a muchas preguntas
En lugar de hacer un experimento para cada suceso, basta un modelo de probabilidades: la lista de todos los resultados con la probabilidad de cada uno, y todas juntas deben dar 1 (o 100 %). Con el modelo en la mano, cualquier suceso se calcula sumando. No necesitas igual posibilidad: los resultados del modelo pueden tener probabilidades distintas, y la suma sigue funcionando. Es la idea de los cursos anteriores, ahora usada con un modelo que alguien te da.
Una ruleta con cinco resultados
Una ruleta tiene cinco resultados, con este modelo: A = 6/20, B = 5/20, C = 4/20, D = 3/20, E = 2/20. Comprueba: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 20, y 20/20 = 1. ¿Cuál es la probabilidad de A, B o C? Paso 1: P(A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C). Paso 2: 6/20 + 5/20 + 4/20 = 15/20. Paso 3: 15/20 = 3/4 = 75 %. ¿Y de D o E? 3/20 + 2/20 = 5/20 = 1/4 = 25 %. Comprueba: 75 % + 25 % = 100 %, porque juntos son todos los resultados.
Dos resultados de cinco no son el 40 %
En la misma ruleta, ¿cuál es la probabilidad de A o B? Mucha gente cuenta los resultados: «son 2 de 5, así que 2/5 = 40 %». Pero eso solo funciona cuando todos los resultados son igualmente posibles, y aquí no lo son: A tiene 30 % y B tiene 25 %. La respuesta correcta es P(A) + P(B) = 6/20 + 5/20 = 11/20 = 55 %. Con un dado equilibrado, contar y sumar dan lo mismo, porque cada cara tiene 1/6, pero sumar es el método que siempre sirve.
Previsiones y tómbolas
Las previsiones del tiempo usan modelos así. Si el modelo dice sol 50 %, nubes 30 %, lluvia 20 %, la probabilidad de que no llueva es la de sol o nubes: 50 % + 30 % = 80 %. En una tómbola con 100 boletos en la que 5 dan un libro, 10 un bolígrafo y 15 una pegatina, la probabilidad de ganar algún premio es 5 % + 10 % + 15 % = 30 %. Siempre que te pregunten «¿cuál es la probabilidad de esto o aquello?», suma las probabilidades de los resultados.
Pon a prueba lo que has aprendido
Con un dado equilibrado, «salir múltiplo de 3» abarca los resultados 3 y 6. ¿Cuál es su probabilidad?
- a) 1/6
- b) 1/3, porque 1/6 + 1/6 = 2/6
- c) 1/36
- d) 9/6
Respuesta correcta: b) 1/3, porque 1/6 + 1/6 = 2/6 — Correcto: P(múltiplo de 3) = P(3) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. La probabilidad del suceso es la suma de las probabilidades de sus resultados.
Una ruleta tiene el modelo A = 6/20, B = 5/20, C = 4/20, D = 3/20, E = 2/20. ¿Cuál es la probabilidad de que salga A, B o C?
- a) 3/5 = 60 %, tres resultados de cinco
- b) Cerca de 1,5 %, multiplicando 6/20 × 5/20 × 4/20
- c) 3/4 = 75 %
- d) 1/4 = 25 %, la media de las tres
Respuesta correcta: c) 3/4 = 75 % — P(A) + P(B) + P(C) = 6/20 + 5/20 + 4/20 = 15/20 = 3/4 = 75 %. Sumar las probabilidades de los resultados siempre funciona.
En la misma ruleta (A = 30 %, B = 25 %, C = 20 %, D = 15 %, E = 10 %), ¿cuál es la probabilidad de que salga A o B?
- a) 55 %, porque 30 % + 25 %
- b) 40 %, dos resultados de cinco
- c) 30 %, el más probable de los dos
- d) 27,5 %, la media de 30 % y 25 %
Respuesta correcta: a) 55 %, porque 30 % + 25 % — Correcto: P(A) + P(B) = 30 % + 25 % = 55 % (11/20). Los resultados no son igualmente posibles, así que se suman las probabilidades.
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