Mathematik Klasse 7: Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit mehreren Ergebnissen
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Bei gegebenem Wahrscheinlichkeitsmodell ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit mehreren Ergebnissen die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse, auch wenn sie nicht gleich wahrscheinlich sind.
Die Ergebnisse addieren, die das Ereignis bilden
Ein Ergebnis ist eine einzelne Sache, die herauskommen kann: eine Würfelseite, eine Farbe am Glücksrad. Oft willst du die Wahrscheinlichkeit von etwas, das mehrere Ergebnisse umfasst: „ein Vielfaches von 3“ umfasst die 3 und die 6. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, aus denen es besteht. Beim fairen Würfel: P(Vielfaches von 3) = P(3) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. (Hier wird „Ereignis“ informell gebraucht.)
Ein Modell beantwortet viele Fragen
Statt für jedes Ereignis ein Experiment zu machen, genügt ein Wahrscheinlichkeitsmodell: die Liste aller Ergebnisse mit der Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen, und alle zusammen müssen 1 (oder 100 %) ergeben. Mit dem Modell in der Hand findet man jedes Ereignis durch Addieren. Gleich wahrscheinlich müssen die Ergebnisse nicht sein: Sie dürfen unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben, und die Summe funktioniert trotzdem. Es ist die Idee der früheren Jahre, jetzt mit einem Modell, das dir jemand gibt.
Ein Glücksrad mit fünf Ergebnissen
Ein Glücksrad hat fünf Ergebnisse mit diesem Modell: A = 6/20, B = 5/20, C = 4/20, D = 3/20, E = 2/20. Prüfe: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 20, und 20/20 = 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für A, B oder C? Schritt 1: P(A oder B oder C) = P(A) + P(B) + P(C). Schritt 2: 6/20 + 5/20 + 4/20 = 15/20. Schritt 3: 15/20 = 3/4 = 75 %. Und für D oder E? 3/20 + 2/20 = 5/20 = 1/4 = 25 %. Prüfe: 75 % + 25 % = 100 %, denn zusammen sind es alle Ergebnisse.
Zwei von fünf Ergebnissen sind nicht 40 %
Wie groß ist beim selben Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für A oder B? Viele zählen die Ergebnisse: „2 von 5, also 2/5 = 40 %“. Das klappt aber nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, und hier sind sie es nicht: A hat 30 % und B 25 %. Richtig ist P(A) + P(B) = 6/20 + 5/20 = 11/20 = 55 %. Beim fairen Würfel ergeben Zählen und Addieren dasselbe, weil jede Seite 1/6 hat, aber Addieren ist die Methode, die immer funktioniert.
Vorhersagen und Tombolas
Wettervorhersagen nutzen solche Modelle. Sagt das Modell Sonne 50 %, Wolken 30 %, Regen 20 %, ist die Wahrscheinlichkeit für keinen Regen die für Sonne oder Wolken: 50 % + 30 % = 80 %. Bei einer Tombola mit 100 Losen, bei der 5 ein Buch, 10 einen Stift und 15 einen Aufkleber gewinnen, ist die Wahrscheinlichkeit für irgendeinen Preis 5 % + 10 % + 15 % = 30 %. Wenn du gefragt wirst, wie wahrscheinlich „das oder das“ ist, addiere die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse.
Teste, was du gelernt hast
Beim fairen Würfel umfasst „ein Vielfaches von 3“ die Ergebnisse 3 und 6. Wie groß ist seine Wahrscheinlichkeit?
- a) 1/6
- b) 1/3, denn 1/6 + 1/6 = 2/6
- c) 1/36
- d) 9/6
Richtige Antwort: b) 1/3, denn 1/6 + 1/6 = 2/6 — Richtig: P(Vielfaches von 3) = P(3) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse.
Ein Glücksrad hat das Modell A = 6/20, B = 5/20, C = 4/20, D = 3/20, E = 2/20. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für A, B oder C?
- a) 3/5 = 60 %, drei von fünf Ergebnissen
- b) Etwa 1,5 %, durch Multiplizieren von 6/20 × 5/20 × 4/20
- c) 3/4 = 75 %
- d) 1/4 = 25 %, der Mittelwert der drei
Richtige Antwort: c) 3/4 = 75 % — P(A) + P(B) + P(C) = 6/20 + 5/20 + 4/20 = 15/20 = 3/4 = 75 %. Das Addieren der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse funktioniert immer.
Wie groß ist beim selben Glücksrad (A = 30 %, B = 25 %, C = 20 %, D = 15 %, E = 10 %) die Wahrscheinlichkeit für A oder B?
- a) 55 %, denn 30 % + 25 %
- b) 40 %, zwei von fünf Ergebnissen
- c) 30 %, das wahrscheinlichere der beiden
- d) 27,5 %, der Mittelwert von 30 % und 25 %
Richtige Antwort: a) 55 %, denn 30 % + 25 % — Richtig: P(A) + P(B) = 30 % + 25 % = 55 % (11/20). Die Ergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich, also addiert man ihre Wahrscheinlichkeiten.
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