Matematica classe 7: Problemi con le percentuali: sconti, aumenti e oltre il 100%
Matematica, classe 7 (Portogallo): Trasformare uno sconto o un aumento in un'unica percentuale del valore iniziale e spiegare il metodo perché altri possano verificarlo.
Il valore iniziale è sempre il 100%
In un problema di percentuali, decidi prima qual è il valore di partenza: quello è il 100%. Con uno sconto del 7%, paghi 100% − 7% = 93% del prezzo, e il prezzo finale è 0,93 × prezzo. Con un aumento del 20%, passi a 100% + 20% = 120%, cioè 1,20 × valore. Una percentuale può superare il 100%: il 150% di 40 è 60, e il doppio di una quantità ne è il 200%.
Spiegare fa parte del risolvere
Ci sono più modi giusti di risolvere lo stesso problema, e scegliere il più efficace risparmia calcoli: con uno sconto del 7% puoi calcolare il 7% del prezzo e sottrarlo, oppure andare direttamente al 93%. Perché altri possano verificare, una buona spiegazione dice quattro cose: che cos'è il 100%, che cosa si chiede, il calcolo fatto e che cosa significa il risultato. Un numero nudo non si può verificare.
Uno sconto del 7%, due percorsi
Una giacca costa 80 € con il 7% di sconto. Quanto paghi? Percorso A: lo sconto è il 7% di 80 = 0,07 × 80 = 5,60 €; paghi 80 − 5,60 = 74,40 €. Percorso B: paghi 100% − 7% = 93% del prezzo; 0,93 × 80 = 74,40 €. Risposta: paghi 74,40 €, perché il prezzo iniziale (100%) scende del 7%. I due percorsi concordano, ma il B richiede un solo calcolo.
Le percentuali non si sommano lungo la strada
Un prezzo di 100 € aumenta del 20% e, il mese dopo, aumenta di nuovo del 20%. Molti pensano «20% + 20% = 40%» e scrivono 140 €. Ma il secondo aumento si applica al prezzo nuovo: 100 × 1,20 = 120 e 120 × 1,20 = 144 €, un aumento totale del 44%. Per lo stesso motivo, scendere del 20% e poi salire del 20% non riporta al valore iniziale: 100 → 80 → 96. A ogni passo chiediti: 100% di che cosa?
Saldi, aree e somme che crescono
Nei saldi, «−30%» significa che paghi il 70% del prezzo. Per confrontare le aree, se un parco misura 3 000 m² e un giardino 2 000 m², il parco è 3 000 ÷ 2 000 = 1,5 = 150% del giardino: oltre il 100%, perché è più grande. E con una paghetta che aumenta del 20% al mese, 1 € diventa 1,20 €, 1,44 €, 1,73 €… in un foglio di calcolo vedi subito come ogni mese si basa sul precedente.
Metti alla prova quello che hai imparato
Un maglione costa 50 € con il 12% di sconto. Quale di questi calcoli dà il prezzo da pagare?
- a) 88% × 50
- b) 12% × 50
- c) 112% × 50
- d) 50 − 12
Risposta corretta: a) 88% × 50 — Sì: paghi 100% − 12% = 88% del prezzo, e 0,88 × 50 = 44 €.
La biblioteca della scuola ha quest'anno 90 libri d'avventura, cioè il 150% di quelli dell'anno scorso. Quanti ne aveva l'anno scorso?
- a) 135
- b) 45
- c) 140
- d) 60
Risposta corretta: d) 60 — Sì: 150% = 90, quindi 50% = 90 ÷ 3 = 30 e 100% = 2 × 30 = 60. Verifica: 150% di 60 = 90.
Un articolo da 50 € sale del 20% a maggio e, a giugno, risale del 20% sul prezzo di maggio. Quanto costa a giugno?
- a) 60 €
- b) 70 €
- c) 72 €
Risposta corretta: c) 72 € — Sì: 50 × 1,20 = 60 e 60 × 1,20 = 72. Due aumenti del 20% di fila fanno un aumento totale del 44% (72 ÷ 50 = 1,44), non del 40%.
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