Matematica classe 7: Mediana e campo di variazione: dov'è il centro e quanto sono sparsi i dati
Matematica, classe 7 (Portogallo): La mediana dice dov'è il centro dei dati e il campo di variazione quanto sono sparsi; impara a calcolarli, a vedere come un valore anomalo li sposta e a scegliere la misura adatta ai dati.
Due domande, due tipi di misura
Le misure di sintesi rispondono a due domande diverse. Le misure di posizione dicono dov'è il centro dei dati: conosci la media e la moda, e ora c'è la mediana. Le misure di dispersione dicono quanto i dati sono sparsi: il campo di variazione. La mediana è il valore centrale dei dati ordinati; con un numero pari di dati è la media dei due valori centrali. Il campo di variazione è il valore maggiore meno il minore.
Lo stesso centro, dispersioni diverse
Due gruppi possono avere lo stesso centro ed essere molto diversi. Cinque alunni hanno letto, in minuti: A: 20, 20, 20, 20, 20; B: 5, 15, 20, 25, 35. In entrambi la mediana è 20 e la media è 20, ma il campo di variazione di A è 0 e quello di B è 30 (35 − 5). Solo la dispersione mostra che in B c'è chi legge pochissimo e chi legge molto. Il campo di variazione dipende anche dal contesto: le età di una classe di seconda media variano meno di quelle di un'intera scuola.
Nove tragitti, poi otto
Nove alunni hanno impiegato 12, 60, 9, 15, 8, 11, 20, 10 e 14 minuti per arrivare a scuola. Passo 1: ordinali: 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 20, 60. Passo 2: sono 9 valori, quello centrale è il 5°: mediana 12 min. Passo 3: campo di variazione 60 − 8 = 52 min; media 159 ÷ 9 ≈ 17,7. Togli il 60 (un tragitto lunghissimo, un valore anomalo): restano 8 valori, mediana (11 + 12) ÷ 2 = 11,5 min, media 99 ÷ 8 ≈ 12,4, campo di variazione 20 − 8 = 12. Il valore anomalo ha spostato poco la mediana, e molto la media e il campo di variazione.
La tabella non è la lista
18 alunni, numero di fratelli: 0 fratelli, 3 alunni; 1, 8 alunni; 2, 5 alunni; 3, 2 alunni. Errore 1: la mediana della colonna delle frequenze (3, 8, 5, 2): 4, e nessuno ha 4 fratelli. Errore 2: la mediana di 0, 1, 2, 3: 1,5, ignorando quanti alunni ha ogni valore. La tabella è la lista in breve: tre 0, otto 1, cinque 2, due 3. Con 18 dati, la mediana è la media del 9° e del 10°, entrambi 1 (i posti da 1 a 11 sono 0 e 1). Mediana: 1. Se i dati sono solo in classi, trovi solo la classe che contiene la mediana, non il suo valore.
Quale misura serve ai dati?
Quale misura scegliere? Le categorie hanno solo la moda. Con numeri senza valori anomali, media e mediana dicono quasi lo stesso. Con valori anomali o molto disuguali, la mediana descrive meglio il centro, ed è per questo che si parla di «prezzo mediano» o di «stipendio mediano». Con dati in classi, la moda diventa la classe modale e si localizza solo la classe della mediana. Dai sempre una misura di posizione insieme a una di dispersione: dove sono i dati e quanto sono sparsi.
Metti alla prova quello che hai imparato
Due gruppi hanno la stessa mediana del tempo di lettura, 20 minuti. Il gruppo A ha campo di variazione 0 e il gruppo B 30. Che cosa si può dire?
- a) B ha letto di più, perché il suo campo di variazione è maggiore
- b) I dati di A sono più sparsi di quelli di B
- c) Entrambi sono centrati sui 20 minuti, ma i dati di B sono molto più sparsi
- d) I due gruppi hanno esattamente gli stessi dati
Risposta corretta: c) Entrambi sono centrati sui 20 minuti, ma i dati di B sono molto più sparsi — Giusto: la mediana è una misura di posizione e il campo di variazione una di dispersione. Stessa posizione, dispersione diversa.
Tempi di viaggio (min): 14, 9, 22, 11, 9, 30, 16, 12. Quali sono la mediana e il campo di variazione?
- a) Mediana 13, campo di variazione 21
- b) Mediana 10, campo di variazione 21
- c) Mediana 13, campo di variazione 30
- d) Mediana 12, campo di variazione 21
Risposta corretta: a) Mediana 13, campo di variazione 21 — Ordinati: 9, 9, 11, 12, 14, 16, 22, 30. Otto valori, quindi la mediana è (12 + 14) ÷ 2 = 13, e il campo di variazione è 30 − 9 = 21.
18 alunni, numero di fratelli: 0 fratelli, 3 alunni; 1, 8 alunni; 2, 5 alunni; 3, 2 alunni. Qual è la mediana del numero di fratelli?
- a) 4
- b) 1,5
- c) 8
- d) 1
Risposta corretta: d) 1 — Sono 18 dati, quindi la mediana è la media del 9° e del 10°. I tre 0 e gli otto 1 occupano i posti da 1 a 11, quindi entrambi sono 1.
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