Mathématiques 7e année : Médiane et étendue : où est le centre, à quel point les données sont dispersées
Mathématiques, 7e année (Portugal) : La médiane dit où est le centre des données, l'étendue dit à quel point elles sont dispersées ; apprends à calculer les deux, à voir comment une valeur aberrante les déplace et à choisir la mesure qui convient aux données.
Deux questions, deux types de mesure
Les mesures de résumé répondent à deux questions différentes. Les mesures de position disent où est le centre des données : tu connais la moyenne et le mode, et voici la médiane. Les mesures de dispersion disent à quel point les données sont étalées : l'étendue. La médiane est la valeur du milieu des données rangées ; avec un nombre pair de données, c'est la moyenne des deux valeurs centrales. L'étendue est la plus grande valeur moins la plus petite.
Le même centre, des dispersions différentes
Deux groupes peuvent avoir le même centre et être très différents. Cinq élèves ont lu, en minutes : A : 20, 20, 20, 20, 20 ; B : 5, 15, 20, 25, 35. Dans les deux, la médiane est 20 et la moyenne est 20, mais l'étendue de A est 0 et celle de B est 30 (35 − 5). Seule la dispersion montre qu'en B certains lisent très peu et d'autres beaucoup. L'étendue dépend aussi du contexte : les âges d'une classe de 5e varient moins que ceux de tout un collège.
Neuf trajets, puis huit
Neuf élèves ont mis 12, 60, 9, 15, 8, 11, 20, 10 et 14 minutes pour arriver à l'école. Étape 1 : range-les : 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 20, 60. Étape 2 : 9 valeurs, celle du milieu est la 5e : médiane 12 min. Étape 3 : étendue 60 − 8 = 52 min ; moyenne 159 ÷ 9 ≈ 17,7. Enlève le 60 (un trajet très long, une valeur aberrante) : il reste 8 valeurs, médiane (11 + 12) ÷ 2 = 11,5 min, moyenne 99 ÷ 8 ≈ 12,4, étendue 20 − 8 = 12. La valeur aberrante a peu déplacé la médiane, et beaucoup la moyenne et l'étendue.
Le tableau n'est pas la liste
18 élèves, nombre de frères et sœurs : 0, 3 élèves ; 1, 8 élèves ; 2, 5 élèves ; 3, 2 élèves. Erreur 1 : la médiane de la colonne des effectifs (3, 8, 5, 2) : 4, et personne n'a 4 frères et sœurs. Erreur 2 : la médiane de 0, 1, 2, 3 : 1,5, en ignorant combien d'élèves a chaque valeur. Le tableau est la liste résumée : trois 0, huit 1, cinq 2, deux 3. Avec 18 données, la médiane est la moyenne de la 9e et de la 10e, toutes deux égales à 1 (les rangs 1 à 11 sont des 0 et des 1). Médiane : 1. Si les données ne viennent qu'en classes, tu ne trouves que la classe qui contient la médiane, pas sa valeur.
Quelle mesure convient aux données ?
Quelle mesure choisir ? Les catégories n'ont qu'un mode. Avec des nombres sans valeurs aberrantes, la moyenne et la médiane disent presque la même chose. Avec des valeurs aberrantes ou très inégales, la médiane décrit mieux le centre, et c'est pourquoi on parle du « prix médian » ou du « salaire médian ». Avec des données en classes, le mode devient la classe modale et on ne localise que la classe de la médiane. Donne toujours une mesure de position avec une mesure de dispersion : où sont les données et à quel point elles sont étalées.
Teste ce que tu as appris
Deux groupes ont la même médiane de temps de lecture, 20 minutes. Le groupe A a une étendue de 0 et le groupe B une étendue de 30. Que peut-on dire ?
- a) B a lu davantage, car son étendue est plus grande
- b) Les données de A sont plus dispersées que celles de B
- c) Les deux sont centrés sur 20 minutes, mais les données de B sont beaucoup plus dispersées
- d) Les deux groupes ont exactement les mêmes données
Bonne réponse: c) Les deux sont centrés sur 20 minutes, mais les données de B sont beaucoup plus dispersées — Exact : la médiane est une mesure de position et l'étendue une mesure de dispersion. Même position, dispersion différente.
Temps de trajet (min) : 14, 9, 22, 11, 9, 30, 16, 12. Quelles sont la médiane et l'étendue ?
- a) Médiane 13, étendue 21
- b) Médiane 10, étendue 21
- c) Médiane 13, étendue 30
- d) Médiane 12, étendue 21
Bonne réponse: a) Médiane 13, étendue 21 — Rangées : 9, 9, 11, 12, 14, 16, 22, 30. Huit valeurs, donc la médiane est (12 + 14) ÷ 2 = 13, et l'étendue est 30 − 9 = 21.
18 élèves, nombre de frères et sœurs : 0, 3 élèves ; 1, 8 élèves ; 2, 5 élèves ; 3, 2 élèves. Quelle est la médiane du nombre de frères et sœurs ?
- a) 4
- b) 1,5
- c) 8
- d) 1
Bonne réponse: d) 1 — Il y a 18 données, donc la médiane est la moyenne de la 9e et de la 10e. Les trois 0 et les huit 1 occupent les rangs 1 à 11, donc les deux valent 1.
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