Mathematik Klasse 7: Median und Spannweite: wo die Mitte liegt und wie weit die Daten streuen
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Der Median sagt, wo die Mitte der Daten liegt, die Spannweite, wie weit sie streuen; lerne beide zu berechnen, zu sehen, wie ein Ausreißer sie verschiebt, und das passende Maß zu wählen.
Zwei Fragen, zwei Arten von Maßen
Kennwerte beantworten zwei verschiedene Fragen. Lagemaße sagen, wo die Mitte der Daten liegt: Mittelwert und Modus kennst du, jetzt kommt der Median dazu. Streuungsmaße sagen, wie weit die Daten auseinanderliegen: die Spannweite. Der Median ist der mittlere Wert der geordneten Daten; bei einer geraden Anzahl ist er der Mittelwert der beiden mittleren. Die Spannweite ist der größte Wert minus der kleinste.
Gleiche Mitte, unterschiedliche Streuung
Zwei Gruppen können dieselbe Mitte haben und doch sehr verschieden sein. Fünf Schüler lasen, in Minuten: A: 20, 20, 20, 20, 20; B: 5, 15, 20, 25, 35. In beiden ist der Median 20 und der Mittelwert 20, aber die Spannweite von A ist 0 und die von B ist 30 (35 − 5). Erst die Streuung zeigt, dass in B manche sehr wenig und manche viel lesen. Die Spannweite hängt auch vom Kontext ab: Die Alter in einer 7. Klasse streuen weniger als die einer ganzen Schule.
Neun Wege, dann acht
Neun Schüler brauchten 12, 60, 9, 15, 8, 11, 20, 10 und 14 Minuten zur Schule. Schritt 1: ordnen: 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 20, 60. Schritt 2: 9 Werte, der mittlere ist der 5.: Median 12 min. Schritt 3: Spannweite 60 − 8 = 52 min; Mittelwert 159 ÷ 9 ≈ 17,7. Streiche die 60 (ein sehr langer Weg, ein Ausreißer): 8 Werte, Median (11 + 12) ÷ 2 = 11,5 min, Mittelwert 99 ÷ 8 ≈ 12,4, Spannweite 20 − 8 = 12. Der Ausreißer bewegte den Median kaum, den Mittelwert und die Spannweite stark.
Die Tabelle ist nicht die Liste
18 Schüler, Anzahl der Geschwister: 0 Geschwister, 3 Schüler; 1, 8 Schüler; 2, 5 Schüler; 3, 2 Schüler. Fehler 1: der Median der Häufigkeitsspalte (3, 8, 5, 2): 4, und niemand hat 4 Geschwister. Fehler 2: der Median von 0, 1, 2, 3: 1,5, ohne zu beachten, wie viele Schüler jeder Wert hat. Die Tabelle ist die Liste in Kurzform: drei 0, acht 1, fünf 2, zwei 3. Bei 18 Daten ist der Median der Mittelwert des 9. und 10., beide 1 (die Plätze 1 bis 11 sind 0 und 1). Median: 1. Liegen die Daten nur in Klassen vor, findest du nur die Klasse, die den Median enthält, nicht seinen Wert.
Welches Maß passt zu den Daten?
Welches Maß wählen? Kategorien haben nur einen Modus. Bei Zahlen ohne Ausreißer sagen Mittelwert und Median fast dasselbe. Bei Ausreißern oder sehr ungleichen Daten beschreibt der Median die Mitte besser, deshalb spricht man von „Medianpreis“ oder „Medianeinkommen“. Bei klassierten Daten wird der Modus zur Modalklasse, und man findet nur die Klasse des Medians. Gib immer ein Lagemaß zusammen mit einem Streuungsmaß an: wo die Daten liegen und wie weit sie streuen.
Teste, was du gelernt hast
Zwei Gruppen haben denselben Median der Lesezeit, 20 Minuten. Gruppe A hat Spannweite 0, Gruppe B Spannweite 30. Was lässt sich sagen?
- a) B las mehr, weil seine Spannweite größer ist
- b) Die Daten von A streuen stärker als die von B
- c) Beide liegen um 20 Minuten, aber die Daten von B streuen viel stärker
- d) Beide Gruppen haben genau dieselben Daten
Richtige Antwort: c) Beide liegen um 20 Minuten, aber die Daten von B streuen viel stärker — Richtig: Der Median ist ein Lagemaß und die Spannweite ein Streuungsmaß. Gleiche Lage, verschiedene Streuung.
Fahrzeiten (min): 14, 9, 22, 11, 9, 30, 16, 12. Wie groß sind Median und Spannweite?
- a) Median 13, Spannweite 21
- b) Median 10, Spannweite 21
- c) Median 13, Spannweite 30
- d) Median 12, Spannweite 21
Richtige Antwort: a) Median 13, Spannweite 21 — Geordnet: 9, 9, 11, 12, 14, 16, 22, 30. Acht Werte, also ist der Median (12 + 14) ÷ 2 = 13 und die Spannweite 30 − 9 = 21.
18 Schüler, Anzahl der Geschwister: 0 Geschwister, 3 Schüler; 1, 8 Schüler; 2, 5 Schüler; 3, 2 Schüler. Wie groß ist der Median der Geschwisterzahl?
- a) 4
- b) 1,5
- c) 8
- d) 1
Richtige Antwort: d) 1 — Es sind 18 Daten, also ist der Median der Mittelwert des 9. und 10. Die drei 0 und die acht 1 füllen die Plätze 1 bis 11, beide sind also 1.
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