Rapporto, proporzione e costante di proporzionalità — 11–13
Un rapporto confronta due quantità con una frazione, una proporzione dice che due rapporti sono uguali, e la costante di proporzionalità è il rapporto che non cambia mai.
Una frazione che confronta due parti
Un rapporto confronta due quantità per divisione e si scrive come frazione. In una classe con 12 ragazze e 8 ragazzi, il rapporto tra ragazze e ragazzi è 12/8 = 3/2: ogni 3 ragazze ci sono 2 ragazzi. Sono entrambi parti dello stesso tutto, la classe. Una proporzione dice che due rapporti sono uguali, come 12/8 = 6/4. In una proporzionalità diretta il rapporto tra valori corrispondenti è sempre lo stesso numero, la costante di proporzionalità k, e quindi y = k × x.
Confrontare senza farsi ingannare dalla quantità
I rapporti permettono di confrontare situazioni di dimensioni diverse. Luís mette 6 fragole in 30 cl di latte, e Rosa ne mette 9 in 40 cl. Rosa ha più fragole, ma anche più latte, quindi contarle non prova nulla. Confronta i rapporti tra fragole e latte: 6/30 = 1/5 = 8/40 per Luís e 9/40 per Rosa. Con lo stesso denominatore, 9/40 è più di 8/40, quindi il frullato di Rosa sa di più di fragola. Ingrandire o ridurre un rapporto (da 1/5 a 8/40) ne conserva il valore, ed è questo che rende il confronto equo.
La costante e l'espressione
Un rubinetto eroga acqua a un ritmo costante. In 2 minuti eroga 30 L, in 5 minuti 75 L, in 8 minuti 120 L. I rapporti sono 30/2 = 15, 75/5 = 15 e 120/8 = 15, quindi 30/2 = 75/5 è una proporzione e la costante di proporzionalità è 15: ogni minuto escono 15 litri. Quindi litri = 15 × minuti, cioè y = 15 × x. In 12 minuti: 15 × 12 = 180 L. Quanto tempo per 270 L? 270 ÷ 15 = 18 minuti. Nell'espressione, x sono i minuti, y i litri e 15 i litri al minuto.
Parte con parte non è parte con tutto
Un cesto ha 4 mele e 6 pere. Il rapporto tra mele e pere è 4/6 = 2/3: due parti dello stesso cesto confrontate tra loro. Molti usano questa frazione per dire quale parte della frutta sono mele, ma quella parte confronta le mele con tutto il cesto: 4 su 4 + 6 = 10 pezzi, cioè 4/10 = 2/5. Conta anche l'ordine: tra pere e mele il rapporto è 6/4 = 3/2. Prima di scrivere una frazione, di' cosa confronti con cosa.
Ritmi, velocità e cerchi
La costante di proporzionalità si nasconde nei ritmi di ogni giorno: litri al minuto, chilometri all'ora, prezzo al chilogrammo. In geometria il perimetro di un cerchio è P = π × d: P e il diametro d dipendono l'uno dall'altro, e π (circa 3,14) è la costante di proporzionalità, la stessa per tutti i cerchi. Un cerchio con d = 10 cm ha un perimetro di circa 3,14 × 10 = 31,4 cm. Ogni volta che leggi «al minuto» o «all'ora», ci può essere una costante di proporzionalità.
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