Verhältnis, Proportion und Proportionalitätsfaktor — Mathematik, 11–13
Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen mit einem Bruch, eine Proportion sagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind, und der Proportionalitätsfaktor ist das Verhältnis, das sich nie ändert.
Ein Bruch, der zwei Teile vergleicht
Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen durch Division und wird als Bruch geschrieben. In einer Klasse mit 12 Mädchen und 8 Jungen ist das Verhältnis von Mädchen zu Jungen 12/8 = 3/2: Auf 3 Mädchen kommen 2 Jungen. Beide sind Teile desselben Ganzen, der Klasse. Eine Proportion sagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind, etwa 12/8 = 6/4. Bei direkter Proportionalität ist das Verhältnis zusammengehöriger Werte immer dieselbe Zahl, der Proportionalitätsfaktor k, also y = k × x.
Vergleichen, ohne sich von der Menge täuschen zu lassen
Mit Verhältnissen kannst du Situationen unterschiedlicher Größe vergleichen. Luís gibt 6 Erdbeeren in 30 cl Milch, und Rosa gibt 9 in 40 cl. Rosa hat mehr Erdbeeren, aber auch mehr Milch, also beweist das Zählen nichts. Vergleiche die Verhältnisse von Erdbeeren zu Milch: 6/30 = 1/5 = 8/40 bei Luís und 9/40 bei Rosa. Mit gleichem Nenner ist 9/40 mehr als 8/40, also schmeckt Rosas Shake stärker nach Erdbeere. Erweitern oder Kürzen eines Verhältnisses (1/5 zu 8/40) behält seinen Wert, und das macht den Vergleich fair.
Faktor und Term
Ein Wasserhahn läuft gleichmäßig. In 2 Minuten kommen 30 L heraus, in 5 Minuten 75 L, in 8 Minuten 120 L. Die Verhältnisse sind 30/2 = 15, 75/5 = 15 und 120/8 = 15, also ist 30/2 = 75/5 eine Proportion, und der Proportionalitätsfaktor ist 15: Jede Minute fließen 15 Liter. Also gilt Liter = 15 × Minuten, kurz y = 15 × x. In 12 Minuten: 15 × 12 = 180 L. Wie lange für 270 L? 270 ÷ 15 = 18 Minuten. Im Term ist x die Minutenzahl, y die Literzahl und 15 die Liter pro Minute.
Teil zu Teil ist nicht Teil zum Ganzen
Ein Korb enthält 4 Äpfel und 6 Birnen. Das Verhältnis von Äpfeln zu Birnen ist 4/6 = 2/3: zwei Teile desselben Korbs, miteinander verglichen. Viele benutzen diesen Bruch, um zu sagen, welcher Anteil des Obsts Äpfel sind, doch ein Anteil vergleicht die Äpfel mit dem ganzen Korb: 4 von 4 + 6 = 10 Stück, also 4/10 = 2/5. Auch die Reihenfolge zählt: Birnen zu Äpfeln ist 6/4 = 3/2. Sag, bevor du einen Bruch schreibst, was du womit vergleichst.
Raten, Geschwindigkeiten und Kreise
Der Proportionalitätsfaktor steckt in Alltagsraten: Liter pro Minute, Kilometer pro Stunde, Preis pro Kilogramm. In der Geometrie ist der Umfang eines Kreises U = π × d: U und der Durchmesser d hängen voneinander ab, und π (etwa 3,14) ist der Proportionalitätsfaktor, für alle Kreise derselbe. Ein Kreis mit d = 10 cm hat einen Umfang von etwa 3,14 × 10 = 31,4 cm. Wo immer du „pro“ liest, kann sich ein Proportionalitätsfaktor verstecken.
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