Proprietà delle operazioni: calcolare più in fretta — 11–13

Scambiare, raggruppare e scomporre i numeri con le proprietà commutativa, associativa e distributiva, e giudicare quale strategia è la più semplice.

Cosa puoi cambiare

Le proprietà delle operazioni dicono cosa puoi cambiare senza cambiare il risultato. Nell'addizione e nella moltiplicazione puoi cambiare l'ordine (commutativa) e il raggruppamento (associativa): 4 × 9 × 25 = 4 × 25 × 9. Puoi anche distribuire: 6 × (10 + 3) = 6 × 10 + 6 × 3, sia con l'addizione sia con la sottrazione. Con esse un calcolo difficile diventa uno con numeri tondi.

I numeri tondi semplificano

Calcolare a mente significa scegliere la scomposizione che lascia numeri facili: 25 × 4 = 100, 8 × 125 = 1000, 10 × qualsiasi numero. Le proprietà garantiscono che lo scambio non cambia il valore. Non c'è un unico modo giusto: due persone possono seguire strade diverse e arrivare allo stesso risultato, e confrontarle mostra quale è più semplice da spiegare e più sicura per quei numeri.

25 × 36, in due modi

Calcola 25 × 36 a mente. Strada A: 36 = 4 × 9, e per la proprietà associativa 25 × 36 = (25 × 4) × 9 = 100 × 9 = 900. Strada B: distributiva, 25 × (30 + 6) = 25 × 30 + 25 × 6 = 750 + 150 = 900. Entrambe danno 900. La A è più corta, ma funziona solo perché 36 ha il fattore 4. Per 25 × 37, la A non va (37 non si scompone in fattori) e la B risolve: 750 + 175 = 925. Una buona strategia è semplice e funziona con i numeri che hai.

Non vale per sottrazione e divisione

L'errore ragionevole è usare con la sottrazione e la divisione ciò che vale solo per l'addizione e la moltiplicazione. 40 − 12 − 8 = 20, ma 40 − (12 − 8) = 36: cambiare il raggruppamento ha cambiato il valore. Così 24 ÷ 6 ÷ 2 = 2, ma 24 ÷ (6 ÷ 2) = 8, e 12 ÷ 3 = 4 mentre 3 ÷ 12 = 1/4. Per raggruppare una sottrazione, trasformala prima: 40 − 12 − 8 = 40 − (12 + 8) = 40 − 20 = 20.

Scorciatoie di ogni giorno

Nella vita di tutti i giorni si calcola così senza accorgersene: 7 × 98 = 7 × (100 − 2) = 700 − 14 = 686; 12 file da 15 posti fanno 10 × 15 + 2 × 15 = 150 + 30 = 180 posti. Per sommare 38 + 27 + 12 + 23, unisci 38 + 12 = 50 e 27 + 23 = 50, cioè 100. Cerca sempre coppie che diano numeri tondi.

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