Propriétés des opérations : calculer plus vite — Mathématiques, 11–13
Échanger, regrouper et décomposer des nombres avec la commutativité, l'associativité et la distributivité, et juger quelle stratégie est la plus simple.
Ce que tu peux changer
Les propriétés des opérations disent ce que tu peux changer sans changer le résultat. Dans l'addition et la multiplication, tu peux changer l'ordre (commutativité) et le regroupement (associativité) : 4 × 9 × 25 = 4 × 25 × 9. Tu peux aussi distribuer : 6 × (10 + 3) = 6 × 10 + 6 × 3, avec l'addition comme avec la soustraction. Grâce à elles, un calcul difficile devient un calcul avec des nombres ronds.
Les nombres ronds simplifient
Calculer de tête, c'est choisir la décomposition qui laisse des nombres faciles : 25 × 4 = 100, 8 × 125 = 1000, 10 × n'importe quel nombre. Les propriétés garantissent que l'échange ne change pas la valeur. Il n'y a pas une seule bonne façon : deux personnes peuvent suivre des chemins différents et arriver au même résultat, et les comparer montre lequel est le plus simple à expliquer et le plus sûr pour ces nombres.
25 × 36, de deux façons
Calcule 25 × 36 de tête. Chemin A : 36 = 4 × 9, et par l'associativité 25 × 36 = (25 × 4) × 9 = 100 × 9 = 900. Chemin B : distributivité, 25 × (30 + 6) = 25 × 30 + 25 × 6 = 750 + 150 = 900. Les deux donnent 900. A est plus court, mais il ne marche que parce que 36 a le facteur 4. Pour 25 × 37, A échoue (37 ne se décompose pas en facteurs) et B résout : 750 + 175 = 925. Une bonne stratégie est simple et marche avec les nombres que tu as.
Faux pour la soustraction et la division
L'erreur raisonnable est d'utiliser avec la soustraction et la division ce qui n'est vrai que pour l'addition et la multiplication. 40 − 12 − 8 = 20, mais 40 − (12 − 8) = 36 : changer le regroupement a changé la valeur. De même 24 ÷ 6 ÷ 2 = 2, mais 24 ÷ (6 ÷ 2) = 8, et 12 ÷ 3 = 4 alors que 3 ÷ 12 = 1/4. Pour regrouper une soustraction, transforme-la d'abord : 40 − 12 − 8 = 40 − (12 + 8) = 40 − 20 = 20.
Raccourcis du quotidien
Dans la vie de tous les jours, on calcule ainsi sans s'en rendre compte : 7 × 98 = 7 × (100 − 2) = 700 − 14 = 686 ; 12 rangées de 15 sièges font 10 × 15 + 2 × 15 = 150 + 30 = 180 sièges. Pour additionner 38 + 27 + 12 + 23, regroupe 38 + 12 = 50 et 27 + 23 = 50, soit 100. Cherche toujours des paires qui donnent des nombres ronds.
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