Rechengesetze: schneller rechnen — Mathematik, 11–13

Zahlen tauschen, zusammenfassen und zerlegen mit Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz und beurteilen, welche Strategie am einfachsten ist.

Was du ändern darfst

Die Rechengesetze sagen dir, was du ändern darfst, ohne das Ergebnis zu ändern. Bei Addition und Multiplikation darfst du die Reihenfolge tauschen (Kommutativgesetz) und anders zusammenfassen (Assoziativgesetz): 4 × 9 × 25 = 4 × 25 × 9. Du darfst auch verteilen: 6 × (10 + 3) = 6 × 10 + 6 × 3, bei Addition wie bei Subtraktion. So wird eine schwere Aufgabe zu einer mit runden Zahlen.

Runde Zahlen machen es leicht

Kopfrechnen heißt, die Zerlegung zu wählen, die leichte Zahlen übrig lässt: 25 × 4 = 100, 8 × 125 = 1000, 10 × jede Zahl. Die Rechengesetze sichern, dass der Tausch den Wert nicht ändert. Es gibt nicht den einen richtigen Weg: Zwei Personen können verschiedene Wege gehen und dasselbe Ergebnis erhalten, und der Vergleich zeigt, welcher für diese Zahlen einfacher zu erklären und sicherer ist.

25 × 36 auf zwei Wegen

Rechne 25 × 36 im Kopf. Weg A: 36 = 4 × 9, und mit dem Assoziativgesetz 25 × 36 = (25 × 4) × 9 = 100 × 9 = 900. Weg B: Distributivgesetz, 25 × (30 + 6) = 25 × 30 + 25 × 6 = 750 + 150 = 900. Beide ergeben 900. A ist kürzer, funktioniert aber nur, weil 36 den Faktor 4 hat. Bei 25 × 37 scheitert A (37 lässt sich nicht in Faktoren zerlegen), B löst es: 750 + 175 = 925. Eine gute Strategie ist einfach und passt zu den Zahlen, die du hast.

Nicht bei Subtraktion und Division

Der naheliegende Fehler: bei Subtraktion und Division anzuwenden, was nur für Addition und Multiplikation gilt. 40 − 12 − 8 = 20, aber 40 − (12 − 8) = 36: Die neue Zusammenfassung hat den Wert verändert. Genauso 24 ÷ 6 ÷ 2 = 2, aber 24 ÷ (6 ÷ 2) = 8, und 12 ÷ 3 = 4, während 3 ÷ 12 = 1/4 ist. Um eine Subtraktion umzugruppieren, forme sie zuerst um: 40 − 12 − 8 = 40 − (12 + 8) = 40 − 20 = 20.

Abkürzungen im Alltag

Im Alltag rechnet man so, ohne es zu merken: 7 × 98 = 7 × (100 − 2) = 700 − 14 = 686; 12 Reihen mit je 15 Sitzen sind 10 × 15 + 2 × 15 = 150 + 30 = 180 Sitze. Für 38 + 27 + 12 + 23 fasst du 38 + 12 = 50 und 27 + 23 = 50 zusammen, also 100. Suche immer Paare, die runde Zahlen ergeben.

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