Propiedades de las operaciones: calcular más deprisa — 11–13
Cambiar, agrupar y descomponer números con las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, y juzgar cuál es la estrategia más simple.
Qué puedes cambiar
Las propiedades de las operaciones dicen qué puedes cambiar sin cambiar el resultado. En la suma y la multiplicación puedes cambiar el orden (conmutativa) y la agrupación (asociativa): 4 × 9 × 25 = 4 × 25 × 9. Y puedes distribuir: 6 × (10 + 3) = 6 × 10 + 6 × 3, tanto con la suma como con la resta. Con ellas una cuenta difícil se convierte en otra con números redondos.
Los números redondos lo facilitan
Calcular de cabeza es elegir la descomposición que deja números fáciles: 25 × 4 = 100, 8 × 125 = 1000, 10 × cualquier número. Las propiedades garantizan que el cambio no altera el valor. No hay una única forma correcta: dos personas pueden seguir caminos distintos y llegar al mismo resultado, y compararlos muestra cuál es más simple de explicar y más seguro para esos números.
25 × 36, de dos maneras
Calcula 25 × 36 de cabeza. Camino A: 36 = 4 × 9, y por la asociativa 25 × 36 = (25 × 4) × 9 = 100 × 9 = 900. Camino B: distributiva, 25 × (30 + 6) = 25 × 30 + 25 × 6 = 750 + 150 = 900. Los dos dan 900. El A es más corto, pero solo sirve porque 36 tiene el factor 4. Para 25 × 37, el A falla (37 no se descompone en factores) y el B lo resuelve: 750 + 175 = 925. Una buena estrategia es la que es simple y funciona con los números que tienes.
No vale en la resta ni en la división
El error razonable es usar con la resta y la división lo que solo vale para la suma y la multiplicación. 40 − 12 − 8 = 20, pero 40 − (12 − 8) = 36: cambiar la agrupación cambió el valor. Igualmente 24 ÷ 6 ÷ 2 = 2, pero 24 ÷ (6 ÷ 2) = 8, y 12 ÷ 3 = 4 mientras que 3 ÷ 12 = 1/4. Para reagrupar una resta, transfórmala antes: 40 − 12 − 8 = 40 − (12 + 8) = 40 − 20 = 20.
Atajos del día a día
En el día a día se calcula así sin darse cuenta: 7 × 98 = 7 × (100 − 2) = 700 − 14 = 686; 12 filas de 15 asientos son 10 × 15 + 2 × 15 = 150 + 30 = 180 asientos. Para sumar 38 + 27 + 12 + 23, junta 38 + 12 = 50 y 27 + 23 = 50, o sea 100. Busca siempre parejas que den números redondos.
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