Proporzionalità diretta: una relazione moltiplicativa — 11–13
Due grandezze sono direttamente proporzionali quando moltiplicare una per un numero moltiplica l'altra per lo stesso numero, e così una coppia nota apre tutte le altre.
Moltiplicare una, moltiplicare l'altra
Alcune grandezze vanno insieme: più vernice hai, più grande è la parete che puoi coprire. Sono direttamente proporzionali quando, moltiplicando una per un numero, l'altra risulta moltiplicata per lo stesso numero. Se 3 litri di vernice coprono 12 m², allora 6 litri (3 × 2) coprono 12 × 2 = 24 m², e 9 litri (3 × 3) coprono 12 × 3 = 36 m². Dividere funziona allo stesso modo: 1 litro (3 ÷ 3) copre 12 ÷ 3 = 4 m². La relazione è moltiplicativa: conta fare la stessa moltiplicazione, o divisione, da entrambe le parti, non sommare la stessa quantità.
Una coppia le apre tutte, ma non tutte sono proporzionali
Con la proporzionalità diretta, una coppia nota ti dà tutte le altre, in un testo, in una tabella o in un grafico, dove ogni punto è una coppia di valori che puoi leggere e verificare. Ma non tutto ciò che cresce insieme è proporzionale. Ana ha 10 anni e suo fratello 12; quando Ana avrà 20 anni (il doppio), lui ne avrà 22, non 24: le età sono legate da una somma, non da una moltiplicazione. Un ciclo di lavaggio dura 45 minuti sia che la lavatrice contenga 2 camicie sia che ne contenga 6: raddoppiare le camicie non raddoppia il tempo.
Litri di vernice e metri quadrati
Tabella: 3 L → 12 m², 6 L → 24 m², 9 L → 36 m². Quanto coprono 15 L? Guarda i litri: 15 = 3 × 5, quindi l'area è 12 × 5 = 60 m². Confronti due valori della stessa grandezza. Un altro percorso passa da 1 litro: 12 ÷ 3 = 4 m² per litro, quindi 7 litri coprono 7 × 4 = 28 m², e 15 litri coprono 15 × 4 = 60 m², lo stesso risultato. Verifica la tabella: 6 L e 24 m² sono il doppio di 3 L e 12 m², e 9 L e 36 m² sono il triplo. È direttamente proporzionale.
Sommare la stessa quantità non è proporzionale
Una ricetta di succo usa 2 bicchieri di concentrato e 3 bicchieri d'acqua. Quanta acqua per 6 bicchieri di concentrato? Molti vedono che il concentrato è aumentato di 4 (da 2 a 6) e sommano 4 anche all'acqua: 3 + 4 = 7. È un'idea ragionevole, ma il sapore cambia. In una proporzione si fa la stessa moltiplicazione da entrambe le parti: 6 = 2 × 3, quindi l'acqua è 3 × 3 = 9 bicchieri. Controlla: 2 bicchieri di concentrato per 3 d'acqua e 6 per 9 sono la stessa miscela, perché entrambi sono stati moltiplicati per 3.
Ricette, ritmo costante e prezzi uguali
La proporzionalità diretta è al lavoro quando adatti una ricetta per più persone, quando un ciclista mantiene lo stesso ritmo (se 3 km richiedono 10 minuti, 9 km ne richiedono 30) o quando compri più articoli che costano tutti lo stesso. Vale solo finché il ritmo resta lo stesso: se il ciclista si stanca, o un negozio fa lo sconto per molti articoli, la tabella smette di essere proporzionale. Prima di moltiplicare, chiediti se la relazione è davvero moltiplicativa.
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