Proportionnalité directe : une relation multiplicative — 11–13
Deux grandeurs sont directement proportionnelles quand multiplier l'une par un nombre multiplie l'autre par le même nombre, et un couple connu ouvre donc tous les autres.
Multiplier l'une, multiplier l'autre
Certaines grandeurs vont ensemble : plus il y a de peinture, plus le mur qu'on peut couvrir est grand. Elles sont directement proportionnelles quand multiplier l'une par un nombre multiplie l'autre par le même nombre. Si 3 litres de peinture couvrent 12 m², alors 6 litres (3 × 2) couvrent 12 × 2 = 24 m², et 9 litres (3 × 3) couvrent 12 × 3 = 36 m². Diviser marche pareil : 1 litre (3 ÷ 3) couvre 12 ÷ 3 = 4 m². La relation est multiplicative : ce qui compte, c'est de multiplier ou diviser de la même façon des deux côtés, pas d'ajouter la même chose.
Un couple les ouvre tous, mais tous ne sont pas proportionnels
Avec la proportionnalité directe, un couple connu donne tous les autres, dans un texte, un tableau ou un graphique, où chaque point est un couple de valeurs qu'on peut lire et tester. Mais tout ce qui grandit ensemble n'est pas proportionnel. Ana a 10 ans et son frère 12 ; quand Ana aura 20 ans (le double), il en aura 22, pas 24 : leurs âges sont liés par une addition, pas par une multiplication. Un cycle de lavage dure 45 minutes que la machine contienne 2 chemises ou 6 : doubler les chemises ne double pas la durée.
Litres de peinture et mètres carrés
Tableau : 3 L → 12 m², 6 L → 24 m², 9 L → 36 m². Combien couvrent 15 L ? Regarde les litres : 15 = 3 × 5, donc l'aire est 12 × 5 = 60 m². Tu compares deux valeurs de la même grandeur. Un autre chemin passe par 1 litre : 12 ÷ 3 = 4 m² par litre, donc 7 litres couvrent 7 × 4 = 28 m², et 15 litres couvrent 15 × 4 = 60 m², le même résultat. Teste le tableau : 6 L et 24 m² sont le double de 3 L et 12 m², et 9 L et 36 m² en sont le triple. C'est directement proportionnel.
Ajouter la même quantité n'est pas proportionnel
Une recette de jus utilise 2 verres de concentré et 3 verres d'eau. Combien d'eau pour 6 verres de concentré ? Beaucoup voient que le concentré a augmenté de 4 (de 2 à 6) et ajoutent aussi 4 à l'eau : 3 + 4 = 7. C'est une idée raisonnable, mais le goût change. Dans une proportion, on fait la même multiplication des deux côtés : 6 = 2 × 3, donc l'eau vaut 3 × 3 = 9 verres. Vérifie : 2 verres de concentré pour 3 d'eau et 6 pour 9 forment le même mélange, car les deux ont été multipliés par 3.
Recettes, rythme constant et prix identiques
La proportionnalité directe est à l'œuvre quand tu adaptes une recette pour plus de personnes, quand un cycliste garde le même rythme (si 3 km prennent 10 minutes, 9 km en prennent 30) ou quand tu achètes plusieurs articles qui coûtent tous le même prix. Cela ne vaut que tant que le rythme reste le même : si le cycliste se fatigue, ou si un magasin fait une remise sur beaucoup d'articles, le tableau cesse d'être proportionnel. Avant de multiplier, demande-toi si la relation est vraiment multiplicative.
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